Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Univerzita Komenského / Fakulta matematiky, fyziky a informatiky / Diskrétna matematika 1

Skusky 4 (diskretna23.doc)

1. a)

1. b)

Zložený výrok:

2. a)

i)        

ii)        

iii)        

iv)        

v)

2. b)

i)        

ii)        

iii)        

iv)        

v)        

3. a)        Ak sa nedá krátiť , tak sa nedá krátiť aj

Vytvorím obmenu výroku (kontrapozíciu), má rovnakú pravdivostnú hodnotu!

Ak sa dá krátiť , tak sa dá krátiť aj

Zlomok  sa dá krátiť vtedy, ak ho môžeme zapísať ako , kde .

Dosadíme do druhého zlomku:

Keďže tento výrok platí, tak platí aj obmena tohto výroku, čo je náš pôvodný výrok.

Čiže platí: Ak sa nedá krátiť , tak sa nedá krátiť aj

3. b)          nie je racionálne číslo

Urobím negáciu:  je racionálne číslo.

Každé racionálne číslo sa dá napísať ako . V tomto prípade je , pretože logaritmus je definovaný iba pre kladné čísla.

p a q sú nesúdeliteľné prirodzené čísla.

Keďže p a q sú prirodzené čísla, tak platí:

je párne prirodzené číslo, pretože sa dá napísať aj ako:

je nepárne prirodzené číslo, pretože sa dá napísať aj ako:

Tu však dostaneme spor s tvrdením . Toto tvrdenie neplatí, pretože párne číslo sa nemôže rovnať nepárnemu!

Keďže toto tvrdenie neplatí, neplatí teda ani tvrdenie, že je iracionálne číslo. Platí teda jeho negácia: nie je racionálne číslo. 4. a)

Upravím pravú stranu:        

Keďže pracujem s kladnými číslami a a b, tak môžem nerovnicu vynásobiť a a b (nezmení to nerovnosť):

Výraz  je pravdivý pre , čiže platí:                 

4. b)        

a  sú funkcie definované pre: , čiže obe čísla  a  sú kladné.

Upravím rovnicu:

Výraz  je pravdivý pre , čiže platí:         

5. a)        

                Platí:

1. p = 1        p

2. Keďže p = 1, tak aj q = 1, aby bolo  pravdivé

        (Modus Ponens)         q

3. Ak platí q, tak nemôže platiť r, aby bol výraz  pravdivý

           (Pravidlo kontrapozície)        

4. Ak platí , tak aby výraz  bol pravdivý, musí platiť s        s

        (Disjunktný sylogizmus)

5. Ak platí s, tak určite platí aj

        (Zdôraznenie)        

5. b)        

Zaujímajú nás len riadky kde platí , to sú tie vyznačené. Zistili sme však, že nie vždy platí zároveň aj , čiže  neplatí pre všetky p, q a r.

Kontrapríklad: p = 1, q = 0, r = 1  6.

a)        

b)        

c)        

d)        

7. a)                                                                Hodnota

i)                                                        1

Výrok platí napr. pre x = 1 a y = 1

ii)                                                        0

Výrok neplatí, pretože jednému x nemôžeme nájsť viac ako jedno y aby platila podmienka

Kontrapríklad: x = 1; potom aby platila rovnica xy = 1, musí byť aj y = 1.

iii)                                                        0

Výrok neplatí, pretože v obore  nemôžeme nájsť každému x aspoň jedno y tak, aby platila podmienka. Napr. číslu x = 5 nájdeme y = , ale , čiže výrok je nepravdivý.

iv)                                1

Riešením sústavy je usporiadaná dvojica , ktorá spĺňa podmienku , preto je výrok pravdivý.

v)                                0

Riešením sústavy je usporiadaná dvojica , ktorá nespĺňa podmienku , preto je výrok nepravdivý.

7. b)                                                                Hodnota

i)                                                        1

Výrok platí napr. pre x = 1 a y = 1

ii)                                                        0

Výrok neplatí, pretože jednému x nemôžeme nájsť viac ako jedno y aby platila podmienka

Kontrapríklad: x = 1; potom aby platila rovnica xy = 1, musí byť aj y = 1.

iii)                                                        1

Výrok platí, pretože v obore  môžeme nájsť každému x aspoň jedno y tak, aby platila podmienka. Napr. číslu x = 5 nájdeme y = . Každému x nájdeme číslo y, aby platilo .

Vtedy

iv)                                1

Riešením sústavy je usporiadaná dvojica , ktorá spĺňa podmienku , preto je výrok pravdivý.

v)                                1

Riešením sústavy je usporiadaná dvojica , ktorá spĺňa podmienku , preto je výrok pravdivý.