Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Univerzita Komenského / Fakulta matematiky, fyziky a informatiky / Algebra

Skusky (algebra.doc)

Datum a cas: 26-JAN-1999 14:20

Vec: Algebra 26.1.'99 skupina A

Najdite polynom f(x) in Q(x) najnizsieho stupna, aby

f(0)=1

f(1)=2

f(2)=3

f(3)=4

f(4)=6

Nech n>=2, n in N, p,q su prvocisla p!=q. Dokazte ze (pq)^(1/n) in R-Q.

Nech a in Q. Vypocitajte 1/(4^(1/3)+a) v poli Q(2^(1/3)).

Datum a cas: 7-JAN-1999 15:06

Vec: Algebra 7.1.99

Mali sme tieto priklady:

1. Je H={(2n,3m,0); n,m zo Z} normalna podgrupa grupy (ZxZxZ, +) ? Ak ano, ako

vyzera G/H ?

2. Vyjadrite v Q(tretia odmocnina z 2) toto:

---------------------------

(tretia odmocnina z 2) + a

to je akoze 1 lomeno

3. Dokazte, ze plati rovnost

1 - x/1! +...+ (-1)^n*x(x-1)(x-2)...(x-n+1)/n! = (-1)^n*(x-1)(x-2)...(x-n)/n!

Navod:

1. Easy: H je normalna, lebo G je komutativna. G/H je izomorfne s (Z2xZ3xZ, +)

2. Harry povie navod a potom su to tri rovnice o 3 neznamych - easy

3. Easy - indukciou

Ustna bola celkom OK.

drzim palce...

Datum a cas: 12-JAN-1999 13:32

Vec: Algebra 7.1. ustna

Cafte!

[pisomnu cast uz poslal roman]

Takze co bolo na ustnej:

Zle-nedobre. Harry si podla pisomiek myslel ze to viem. A mylil sa. Takze

bol z toho trapas.

Ale daval mi priklady ako:

dokaz ze p je prvocislo tak

m | n

p - 1 | p - 1 => m | n ( | je "deli")

ked som sa nechytal tak mi dal navod: ukazal mi cvicenie 320/5 ze ho mam

robit a)..e)

ked ani to nepomohlo ;-))) tak mi dal iny priklad:

nech pole F ma p prvkov, nech F' ma q prvkov. Kedy je F' podpole F ?

ani na to som sa nechytil :-((

takze potom mi uz dal "jednoduchsiu":

nieco ako napis a dokas + ... kolko prvkov moze mat pole a najdi pre

jed. pocty nejaky priklad.

to uz bolo dost jednoduche ale ani to nepomohlo.

Tak som to zabalil. Nie zeby ma vyhodil, ale fakt som to nevedel,

a nechcelo sa mi traposit.

Datum a cas: 12-JAN-1999 9:57

Vec: algebra 12.1 - skupina A

1. Zistite, ci cislo

1 + 2^(1/3) - 4^(2/3)

je algebr. prvok nad Q. Ak ano, najdite jeho min. polynom (nad Q).

2. Overte, ci je H = R\{0} normalna podgrupa grupy G = ( C\{0}, * )

a ak ano, zistite, ci je faktorova grupa G/H izomorfna s

( {c \in C; |c|=1}; * ).

3. Najdite pocet ired. polynomov 2., 3. a 4. stupna nad Z_2.

Datum a cas: 12-JAN-1999 10:03

Vec: algebra 12.1 - sk. A - oprava

ten prvy priklad, ako som ho napisal, by bol asi trochu lahky ;-)

... hari zadal nieco taketo: .----------- zmena !!!

1. Zistite, ci cislo

1 + 2^(1/3) - 4^(1/3)

je algebr. prvok nad Q. Ak ano, najdite jeho min. polynom (nad Q).

Datum a cas: 13-JAN-1999 12:22

Vec: Algebra 13.1.1999

Toto bolo na pisomke, boli dve skupiny po tri priklady a jeden bol

spolocny:

1. Dokazte, ze surjektivny obraz okruhu (Z,+,.) je (az na

izomorfimus) bud trivialny (jednoprvkovy) okruh,alebo je to (Zn,+,.)

pre vhodne prir.cis. n>2, alebo je to (Z,+,.).

2. Najdite racionalne korene polynomu f(x)=x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3 a

najdite nsd f(x) a g(x)=x^2-2x-3 nad Q.

3. Najdite vsetky komplexne korene polynomu f(x)=x^6-9x^3+8

1. Zistite ci su polia Q(odmocnina z 2) a Q(odmocnica z 3)

izomorfne.Svoje tvrdenie dokazte!

2. to iste ako A 3.

3. Najdite nsd polynomov x^24-1 a x^9-1 (su to polynomy nad C).

Dokazte, ze mnoziny H1={x in C,x^24=1} a H2={x in C,x^9=1} su

podgrupy grupy (C-{0},.). Najdite H1 prienik H2.

Datum a cas: 19-JAN-1999 15:50

Vec: Algebra ustna 19.1

Cafte!

O ustnej:

Napriek tomu ze sme par ludi nespravili pisomku, uznal nam ju za 6 bodov

s tym, ze sme mali predoslu pisomku dobru.

Potom mi ponukol, ze z tych 6 b. moze byt iba trojka, ale ak by som

urobil nejaky tazky priklad, dal by mi dvojku. Skusil som to.

Dal mi napisat klasifikaciu konecnych poli, t.j. ake a kolko konecnych

poli existuje + teoria o rozkladovych poliach -- co je to rozkladove pole

veta o jeho existencii, veta o izomorfizme r. poli, a nakoniec ta veta

ze konecne polia maju pocet prvkov p^n a su izomorfne s r.p. x^(p^n)-x nad

Z_p. Trapil som sa trapil, ale nic z toho nebolo -- mal som v tom vyrazne

medzery.

Nakoniec skonstatoval "takze dvojka nebude" a dal mi nieco ine.

Euklid. O -- def, OHI def, veta o tom ze EO => OHI

Datum a cas: 19-JAN-1999 14:44

Vec: Algebra 19.01.1999

Pisomka - skupina A:

1. napiste NSD polynomov f(x)=2*x^4 + 3*x^3 - 3*x^2 - 5x + 2 a

g(x)=2*x^3 + x^2 - x - 1 nad polom Q ako linearnu kombinaciu danych

polynomov.

2. Ukazte, ze x^2+x+1 | x^(3m) + x^(3n+1) + x^(3p+2)

(pre vsetky m, n, p >= 0).

3. Nech f(x)=a0 + a1*x + ... + an*x^n je minimalny polunom prvku u<>0

algebraickeho na polom F. Zistite, ci je 1/u tiez algebraicky nad polom F

a ak je, najdite jeho minimalny polynom. (Svoje tvrdenie dokazte!!!)

Ustna cast:

1.-> Vsetko co viem o podielovych poliach. Zadefinovat a nejake veticky...

2.-> Vsetko co viem o rozsireniach poli (algebraicke, jednoduche,

konecne, viacnasobne, ...) a veticky o tom ake su vztahy medzi nimi.

Prezentujem vam, nestastnikom, co ste este neboli na skuske priklady z pisomky:

1. Dane grupy G1=[1/2] (grupa generovana cislom 1/2) G2=[1/3]

Co je G_1 prienik G_2 ?? (Obidve su podgrupy (R,+) )

2. Su (R,+) faktorizovane podla Z_{2*\pi} a (R,+) podla Z izomorfne ?

3. nsd (x^98+1, x^162+1)

4. Rozklad x^5+1 nad Z_5

5. Nech (D,+,*) je obor integrity; char(D)=p.

Dokaz, ze mnozina {x^p; x je z D} je okruh.

Vec: Algebra - 30.12., ta druha skupina

Ahojte, pripajam niekolko riadkov k Jurovmu mailu, snad Vam to pomoze:

skupina A

1. Nech alfa=(1356)(2357)(42) je permutacia. Napiste alfu ako sucin

disjunktnych cyklov, ako sucin transpozicii a urcte alfu na -57.

2. Nech H=[(12345678)] je podgrupa grupy (S8,o) - citaj grupa permutacii 8

prvkov s operaciou skladania zobrazeni (pozn. ja). Najdite vsetky podgrupy

grupy H.

3. Najdite nsd polynomov f(x)=2x^3+x^2-13x+6 a g(x)=2x^3-3x^2-11x+6 a napiste

ho v tvare u(x)*f(x)+v(x)*g(x).

4. Nech (G,o) je grupa, ktora ma p^n prvkov a nech p je prvocislo. Potom (G,o)

ma p-prvkovu podgrupu. Dokazte!

Vec: Algebra - 30.12

Caute !

Nnno, tak na skuske 30.12 boli dve skupiny , (bolo nas dost vela) a tu su

zadania B-cka :

1. Najdite vsetky izomorfizmy medzi okruhmi (Q(odm2),+,*) a (Q(odm2),+,*)

(to odm2 znamena odmocnina z dvoch), ze fi je z Q(odm2) do Q(odm2)

2.Nech alfa=(2467)(3461)(53) je permutacia.Napiste alfa ako sucin disjunktnych

cyklov, ako sucin transpozicii a urcte alfa^(-63).

3.Najdite vsetky racionalne korene polynomu 2x^3 + x^2 - 13x +6

4. Nech gama z R je transcendentny prvok nad Q.Dokazte , ze aj odm(gama) a

gama^2 su transcendentne nad Q .

Na to bola hodinka a potom si kazdy vytiahol teoriu .Napriklad ja som mal

Grupa permutacii a vsetko okolo toho (def., vety ,nejake tie pojmy okolo

toho a aj dokaziki k vetam a tak ...)

A este volaco ... Nebudte prekvapeny, ked si vytiahnete take otazocky,

ze derivacia a Taylorov rozvoj polynomu, ci podielove polia ...

Sent: 3. februára 2000 11:13

Subject: Algebra 3.2.2000

Caute,

Ak este nemate Algebru, tak tu su dnesne priklady :

1. Rieste sustavu a urobte diskusiu vzhladom na parametre a,b,c :

ax+y+z=1

x+by+z=1

x+y+cz=1

2. Pre ake lambda je dana kvadraticka forma kladne definitna :

5 x1^2 + x2^2 + lambda x3^2 - 4 x1x2 +2 x1x3 - 2 x2x3

3. Matica ma charakteristicke hodnoty rozne od nuly prave vtedy ak je matica

regularna.

4. F', F - konecne polia. F' je nadpole F. |F| = q. (mohutnost) |F'|=q^n pre

vhodne n.

Sent: 27. januára 2000 11:15

Subject: Algebra 27.1

Taaaakze:

1) Determinant

| x y 0 .... 0 |

| 0 x y .... 0 |

| . . . .... . |

| 0 0 0 .... y |

| y 0 0 .... x |

2) Charakteristicke hodnoty a vektory:

( 3 2 2 )

( 1 4 1 )

( -2 -4 -1 )

(to chce byt akoze matica :-)

3) Urcit stupen rozsirenia Q(sqrt(8),3+sqrt(50)) a ci je to

jednoduche rozsirenie

4) Riesit Cramerom sustavu

(1+a)x + y + z = 1

x + (1+a)y + z = a

z + y + (1+a)z = a^2

+ diskusia na parameter

------------------------------------------------

WEB : http://redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~pavlovic

Sent: 25. januára 2000 20:02

To: 8inf

Subject: Algebra 25.1.

Zdar, pre tych, co to este nemaju, dnesna pisomka z algebry, naozaj lahka.

Determinant

1 n n .... n

n 2 n .... n

n n 3 .... n

. . .

n n n .... n

Vysledok: n!*(-1)^(n-1)

Navod: (mozno sa do da aj lahsie)

1. Prvy odcitat od kazdeho

2. posledny scitat s predposlednym,... druhy s prvym

3. Rozvinut podla 1.riadku (subdeterm. vyjdu az na posledny nulove)

2. Rieste sustavu a urobte diskusiu na parametre

ax+y+z=1

x+by+z=1

x+y+cz=1

Klasicky cramer, vysledok sa mi nechce pisat, podmienka je aby matica bola regularna, co je vtedy, ked |A|<>0

Kanonicky tvar vzhadom na obe grupy

5x^2-6xy+5y^2

Lin.gr. a^2+b^2

Ort.gr. 8a^2+2b^2

Najdite rozkladove pole polynomu x^4-7 na Q[x]

Vyslo mi to Q(7^(1/4),i*(7)^(1/4)) <- slovom, stvrta odmocnina z 7, a i*stvrta odmocnina z 7.

Ked mi to kontroloval, tak sa spytal aj na stupen.

Lomo

Sent: 20. januára 2000 18:26

Subject: Algebra 20.1

Pisomka bola (ako hovorieval akakemik Korinek) tuze trivialni. Fakt jedna z najlahsich.

1.Determinant

| 0 1 1 ............... 1 1|

| 1 0 x ............... x x|

| 1 x 0 ............... x x|

| .............................|

| 1 x x ............... 0 x|

| 1 x x ............... x 0|

Vysledok (-1)^n+1 * (n-1) * x^(n-2)

2. Sustava (Cramer)

a*x + y + z = 1

x + a*y + z = 1

x + y + a*z = 1

Urobit diskusiu vzhladom na a.

(Hlavna matica musi byt regularna, lebo inac Cramerova metoda neudava ziadne vysledky.

To znamena (A != 0) a to prave vtedy ked (a != -2) & (a != 1). Potom to uz mozno doriesit Cramerom, korene vydu vsetky rovnake.

3. Nech F je konecne pole, F > F` (tuto > samozrejme neznamena "je vacsi" ale "je nadmnozinou") |F| = q. Potom |F|=g^n pre vhodne n.

Vid prednasky, pri algebraickych rozsireniach. To vhodne n je stupen rozsirenia [F:F`]

4. Charakterisitcke hodnoty a vektory pre maticu

( 4 9 0 )

( 0 -2 8 )

( 0 0 7 )

Vzhladom na to, ze matica je v trojuholnikovom tvare to bol fakt strasne lahky priklad.

Na ustnej ale zas skusal dost teorie, ak chcel niekto jednotku, vacsinou dostal kvadraticke formy, vety co sme mali dostudovat z Prehladu modernej algebry. Na trojku vacsinou stacila tak normalne napisana pisomka a vediet definicie.

Palo

Sent: 18. januára 2000 18:47

Subject: Oprava - ALG

3. to rozsirenie je

[Q(sqrt(8), 3+sqrt(50) : Q]

---------------------------

PGP: redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~hudecp/hudecp.txt

Sent: 18. januára 2000 17:49

Subject: Algebra 18.1.2000

Boli klasicky 4 priklady, len ich trocha pozmenil

1. detrminant

1 x x^2 x^3 . . . . x^n

a11 1 x x^2 . . . . x^(n-1)

a21 a22 1 x . . . . x^(n-2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 an3 an4 . . . . 1

2. kvadraticka forma

x1^2 - 2x2^2 + x3^3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

3. najst stupen rozsirenia

[Q(sqrt(8), 3 + sqrt(5) : Q]

- vysledok : stupen rozsirenia je 2

4. transormacia matice zobrazenia

matica zobr. (1 2 1) rel. (1, 0, 0)

(2 1 3) (1, 1, 0)

(3 0 1) (1, 1, 1)

nova baza: (2, 0, 0), (-1, 1, 0), (1, -1, 1).

HUDECOF

PS.

Dneska sa skoro vsetkych pytal na kvadraticke formy (hlavne to co

sme si mali dostudovat), takze odporodporucam naucit sa to.

---------------------------

PGP: redbull.dcs.fmph.uniba.sk/~hudecp/hudecp.txt

Sent: 13. januára 2000 9:45

Subject: Algebra 13.1.2000

Zdar vospolok !

1. Najdi charakteristicke hodnoty a vektory matice

( -1 2 2 )

( 2 2 2 )

( -3 -6 -6 )

[-3,-2,0; (-5,-2,0), (1,-1,1/2), (0,1,-1)]

2. Najdi kanonicky tvar f:5x^2+6xy+5y^2

[x^2+y^2;2x^2+8y^2(?)]

3. Ukaz, ze 2^(1/3)+4^(1/3) je algebraicke cislo.

[polynom z Q:x^3-6x-6]

4. Vypocitaj determinant matice

( n -1 0 0 ... 0 0 )

(n-1 x -1 0 ... 0 0 )

(n-2 0 x -1 ... 0 0 )

( . . . . . . )

( 2 0 0 0 ... x -1 )

( 1 0 0 0 ... 0 x )

Sent: 11. januára 2000 9:00

Subject: algebra 11.1.2000

Dnesna algebra:

1. upravte na kanonicky tvar nad oboma grupami:

x1^2 + x2^2 + 3 x3^2 + 4 x1x2 + 2 x1x3 + 2 x2x3

(x1^2 - x2^2 + x3^2

-x1^2 + (3+sqrt(2)) x2^2 + (3-sqrt(2))x3^2 )

2. minimalny polynom prvku: 4^(1/3) + 8^(1/2)

(x^6 -24 x^4 -8 x^3 + 192x^2 - 192x - 496)

3. determinant: | x+1 x x ... x |

| x x+2 x ... x |

| x x x+3 ... x |

...

| x x x ... x+n|

( (1 + x * suma(1/i)) * n! )

4. dokaz: nech F'' nad F' nad F su polia. dokazte, ze

[F'':F]=[F'':F']*[F':F]

Bodo

Sent: 6. januára 2000 10:48

Subject: Algebra pisomka 1.6.??00

Cafte All,

1. Vypocitaj determinant:

| 1 2 n-1 |

| 1 x x ... x |

| 1 1 1 |

| 1 2 n-1 |

| 1 x x ... x |

| 2 2 2 |

| . . . . |

| 1 2 n-1 |

| 1 x x ... x |

| n n n |

2. Pomocou Cramerovho pravidla rieste sustavu:

ax1 + x2 + x3 = 1

x1 + ax2 + x3 = 1

x1 + ax2 + ax3 = 1

3. Najdite kanonicky tvar kvadratickej formy nad vseobecnou linearnou grupou a

ortogonalno grupou

2 2 2

2x + 3x + 4x - 2x x + 4x x - 3x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

4. Najdite minimalny polynom cisla 5^(1/4) + 5^(1/2)

Sent: 6. januára 2000 9:28

Subject: Algebra 6.1.2000

Ahojte!!

Priklady z pisomky

Sustavu ax+ y+ z = 1

x+ ay+ z = 1

x+ y+ az = 1

vypocitajte Cramerovym pravidlom.

_____ ______

najdite min.polynom _ / _4_ /

\/ 5 + \/ 5

Prevedte do kanonickeho tvaru

2 2 2

2x +3y + 4z - 2xy + 4xz - 3yz

Vandermondov determinant (s. 114, Algebra a teoreticka aritmetika)

vela stastia

Peter Varsa

Sent: 4. januára 2000 8:29

Subject: 4.1.1900 Algebra

Tak stastny a novy....,

dnes bola skuska z algebry dost lahka - 9:05 a jednotka v indexe

pisomka:

1.) Dokazte (priamo dosadenim) ze kazda matica 2x2 je korenom svojho

charakteristickeho polynomu.

moje riesenie: prilis dlhe nez aby som ho tu rozpisoval, ked to budete

niekto chciet tak pridte osobne na AD F85

2.) 5x1^2 + x2^2 + ax3^2 + 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3

Zistite pre ake hodnoty parametra a je kvadraticka forma kladne definitna

moje riesenie: a>2

3.) Najdite polynom z racionalnymi koeficientami, ktoreho korenom je cislo

sqrt(2)+sqrt(-3)

moje riesenie bolo f(x)=x^4 + 2x^2 + 25 a nepovedal ze je to zle

Ustna: vsetko co viem o determinantoch, ked som mal asi tretinu, tak mi to

zobral a spytal sa na vetu o rozsireni F2 nad F ak pozname F2 nad F1 a F1 nad F

Vec: algebra 6.1

Cafte vsetci!

report z algebry zo 6.1

1. Najdite polynom, ktoreho korene su druhou mocninou korenov

polynomu x^3 + ax^2 + bx + c ; a,b,c su z R

2. Rozlozte polynom x^2n + x^n + 1 na sucin ireducibilnych

polynomov nad C aj R.

3. Urcte stupen rozsirenia Q(3^(1/2),i)

4. Najdite kanonicky tvar formy:

x^2 + 4xy + 4y^2 + 2xz + z^2 + 4yz

nad vseobecnou lin. grupou a nad ortogonalnou grupou...

Datum a cas: 13-JAN-1998 14:00

Vec: Algebra 13.1. :)

Este k tomu, co chce z teorie, ak by vas to zaujimalo (lebo

mna to pred skuskou zaujimalo a nedozvedel som sa to). Ja som mal:

Algebraicke rozsirenia poli

Pisal som definiciu rozsirenia a algebr. rozsir., vetu

o existencii rozsirenia obsahujuceho koren ireduc. polynomu, def.

konecneho rozsirenia a vetu o tom, ze konecne rozsir. je algebraicke.

Mozno by sa este zislo pokecat o baze toho rozsirenia, co obsahuje

koren polynomu...

Korene polynomu

Staci len to, co odprednasal, netreba ziadne reciproke

rovnice alebo Sturmove retazce, co ich je plny Katrinak.

Kvadraticke formy

Na tie je zatazeny, mal ich hadam kazdy. Dobre je

precitat si toho MacLana - Birkhoffa, co ho odporucal. Treba vety o

kanonickom tvare nad vseob. linearnou grupou (to, co je v

Katrinakovi), Sylvestrov zakon zotrvacnosti a porozpravat (v mojom

pripade dost volne) o suvise charakteristickych hodnot s kanonickym

tvarom nad ortogonalnou grupou (na to treba toho McL-B).

Symetricke polynomy

To, co prednasal (t.j. zakladna veta) + Newton-Vietove

rovnosti (tie len spomenul, ale viac vlastne ani netreba).

Takze asi tak. Co sa tyka statistiky - okolo polovice (z 15)

nepreslo pisomkou, zo zvysku vyhodil pocas mojho pobytu iba jedneho,

potom ich uz asi tiez vela nebolo.

Datum a cas: 13-JAN-1998 10:30

Vec: Algebra :-( 13.1.

Priklady z pisomky:

1. Najdite kanonicky tvar nad vseobec.lin. a nad ortog. grupou

kvadrat. formy : 2x^2 + xy + 3y^2

2. A je reg. matica NxN nad F(NxN) Ukazte ze X -> A x A^(-1) je

izomorfizmus.

3. Rozloste nad R poly x^4 - ax^2 + 1 ; -2 < a < 2

4. Ake podmienky musia splnat a,b,c aby stvorec jedneho z korenov

poly x^3 + ax^2 + bx + c bol suctom stvorcov zostavajucich dvoch

korenov.

5. Najdite minimalny poly cisla 2 + sqrt(3) nad Q

Prednášky sú zverejnené v súlade s ustanovením § 33 ods. 1 písm. c) zákona č. 618/2003 v znení neskorších prepisov a teda výhradne na informačné účely. Prosíme Vás aby ste všetky porušenia autorských práv bezodkladne ohlásili administrátorovi. Podmienky používania

Digital Services Act Specialist Masterclass