Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Trenčianska univerzita A. Dubčeka / Fakulta Mechatroniky / Elektronika

Kneppo3f (kneppo3f.doc)

TROJFÁZOVÉ SÚSTAVY

Zmena magnetického toku v okolí vodiča vyvolá vo vodiči el. napätie (indukované napätie). Indukované napätie vo vodiči dosiahneme aj jeho pohybom v magnetickom poli. V tomto prípade ide o zmenu mechanickej energie na elektrickú. Tvarom magnetického obvodu obr.1 (pólových nástavcov) dá sa dosiahnuť sínusový priebeh indukovaného napätia obr.2 . Na obr. 1 je znázornený princíp alternátora na výrobu elektrickej energie na komerčné účely. Magnetické pole vytvára jednosmerný prúd pretekajúci budiacim vinutím, ktoré je umiestnené na póloch rotora. Po obvode statora sú drážky v ktorých je umiestnené vinutie. Vinutie svojím usporiadaním tvorí tri cievky. V každej z týchto cievok, pri otáčaní sa rotora, indukuje napätie. Pospájaním cievok vytvoríme trojfázovú sústavu (obr.3), ktorej jednotlivé napätia sú vzájomne posunuté o 120° (obr.4 ).    

S

S

S

J

J

                         Obr.1                                                        Obr.3        

                                   Obr.2) Indukované napätie v jednej fáze (čierna).

                                                         Obr.4 Časové priebehy napätí

       -1

                        c)

                          1

j                                                                 -j

Obr. 4) b) Fázorový diagram v komplexnej rovine c) Fázorový diagram v pootočenej komlexnej rovine o 90°

V ďalšom budú veličiny f(t) písané malým písmenom napr. u(t) iba u.

Okamžité hodnoty trojfázovej sústavy napätí vyjadrené analyticky sú

               (1)

Vzťahy (1) sú vyjadrením súmernej trojfázovej sústavy napätí v kartézskej súradnicovej sústave ako imaginárne časti ich zobrazení v komplexnej rovine bez imaginárnej jednotky j, ktoré sú znázornené fázorovým diagramom na obr.4b. Pri zobrazení v komplexnej rovine kladieme jeden fázor do reálnej osi. V silnoprúdovej elektrotechnike pokladáme reálnu os do zvislej polohy a imaginárnu do vodorovnej polohy, teda do pootočenej komplexnej roviny o 90° (obr.4c).

Z rovníc (1) vyplýva, že ak je sústava fázových napätí súmerná, potom súčet okamžitých hodnôt napätí u1(t ) + u2(t) + u3(t) = 0 a rovnako aj súčet fázorov fázových napätí v súmernej sústave

Základné spôsoby spájania trojfázových sústav, združené a fázové veličiny

Venujme pozornosť takej trojfázovej sústave v ktorej na spojenie zdroja  so spotrebičom potrebujeme trojvodičové, prípadne štvorvodičové vedenie. Táto sústava vhodným spojením fáz zdroja a fáz spotrebiča umožňuje prevádzku elektrických zariadení v dvojakých hodnotách napätia a prúdu. Fázy zdrojov a taktiež fázy trojfázových spotrebičov môžeme spájať dvoma základnými spôsobmi do hviezdy a do trojuholníka

Spojenie fáz do hviezdy.

Zapojenie do hviezdy označujeme písmenom Y alebo symbolom        

Pri zapojení do hviezdy rozoznávame tak na zdroji, ako aj na spotrebiči dva druhy hodnôt napätia fázové (u1, u2, u3) a združené (u12, u23, u31). Fázové napätia sú na jednotlivých fázach t.j. medzi vyvedenými bodmi a nulovým bodom (uzlom). Ak v trojfázovej sústave je vyvedený nulový vodič (štvorvodičová sústava), fázové napätia sú medzi fázovým vodičom a stredným čiže nulovým vodičom. Orientáciu šípok fázových napätí robíme jednotne od voľného (vyvedeného) konca k nulovému bodu (obr.5), alebo opačne. Druhý spôsob orientácie počítacích šípok je bežný v teórii elektrických strojov.

Medzi voľnými koncami dvoch fáz sú združené napätia (obr.5a) orientované podľa poradia vyvedených bodov (v súlade s poradím indexov).

Pre okamžité hodnoty združených napätí (obr.5) podľa druhého Kirchhoffovho zákona platí

          (2)

Ak nás nezaujímajú harmonické priebehy, potom združené napätia vyjadríme v symbolicko-komplexnom tvare

                   (3)

kde sme použili  atd.

Poznámka:

Súčet fázorov i okamžitých hodnôt združených napätí je rovný nule, a to v súmernej i nesúmernej sústave trojfázových napätí. Fázorový diagram združených napätí tvorí pri topografickom kreslení vždy uzavretý trojuholník (obr.5b). Pri spracovaní okamžitých hodnôt harmonického signálu posunutie signálu j dosadzujeme v  radiánoch napr. . Zo vzťahov (4.2) a (4.3) je zrejmé, že pri zobrazení v komplexnej rovine môžeme jeden fázor položiť do reálnej osi.

Zo vzťahov (4.2) a (4.3) vyplýva, že ak je sústava fázových napätí súmerná t.j. u1(t ) = u2(t) = u3(t), potom je aj sústava združených napätí súmerná, teda u12(t)= u23(t)= u31(t) a to platí aj pre efektívne hodnoty.

                                                         (4)

Teda sieťové napätie  trojfázovej siete  je združené napätie.

Spojenie fáz do trojuholníka

V zapojení do trojuholníka sú napätia na jednotlivých fázach totožné s napätiami medzi príslušnými dvoma vodičmi vedenia, teda fázové napätia sa rovnajú združeným.  

                                                             (5)

Po pripojení súmernej trojfázovej záťaže na zdroje v jednotlivých fázach zdroja i vo fázach záťaže zapojenej do trojuholníka tečú fázové prúdy. Prúdy tečúce vodičmi vedenia sú prúdy združené. Orientačné šípky týchto prúdov označujeme v smere prenosu energie, teda od zdroja k záťaži. Pri orientácii vyznačenej na obr.5b platia medzi fázovými a združenými prúdmi v symbolicko-komplexnom tvare rovnice

                                     (6)

Sčítaním týchto rovníc dostaneme vzťah medzi združenými prúdmi

                                                                                             (7)

t.j. súčet fázorov združených prúdov sa rovná nule. Ak je súmerný spotrebič napájaný súmernou sústavou napätí, potom pre absolútne hodnoty združených a fázových prúdov platia vzťahy

                                                (8)

Analýza trojfázových obvodov v ustálenom stave

Analýzu trojfázových obvodov môžeme vykonávať ktoroukoľvek zo všeobecných metód z analýzy jednofázových obvodov. Na jednoduchých obvodoch, ktoré pozostávajú z jedného zdroja a jedného spotrebiča, ukážeme postup ako môžeme rýchlo a jednoducho riešiť rôzne typy trojfázových obvodov.

Pri riešení budeme vychádzať z predpokladu, že trojfázové zdroje sú ideálne tzn., že záťaž neovplyvní ani veľkosť, ani vzájomnú fázovú polohu, teda súmernosť napätí zdroja.. Ďalej predpokladáme, že zdroje generujú ideálne harmonické napätia. Pri riešení budeme používať symbolicko-komplexnú metódu.

Záťaž a zdroj sú zapojené do hviezdy

Takýto obvod je znázornený na obr.4.3. Ide o súmernú sústavu s vyvedenou nulou, teda štvorvodičovú sústavu. Impedancie fázových vodičov vedenia zanedbáme (ak zanedbanie nie je možné, považujeme ich za vnútorné impedancie zdrojov). Impedanciu nulového vodiča nemôžeme zanedbať, ani ju pripočítať k impedanciám záťaže a ani k impedanciám zdrojov. Táto impedancia však do značnej miery ovplyvňuje pomery v obvode.

Z topológie obvodu podľa obr.6a vyplýva, že obvod má tri nezávislé slučky a jeden nezávislý uzol. Obvod môžeme riešiť metódou slučkových prúdov. Z upraveného obvodu podľa obr.6b je vidno, že obvod môžeme riešiť aj aplikáciou Millmanovej vety (metóda paralelných generátorov). Potom  napätie na impedancii nulového vodiča bude

                                                                        (9)

a napätia na jednotlivých fázach záťaže zistíme pomocou slučkového zákona (druhý Kirchhoffov zákon)

                             (10)

Prúdy v jednotlivých fázach a v nulovom vodiči vypočítame podľa Ohmovho zákona

               (11)

Zo vzťahu (11) vidno, že ak je sústava súmerná (zdroj i záťaž sú súmerné), potom platí

                                                                                       (12)

teda i prúd v nulovom vodiči je rovný nule.

V súmernej trojfázovej sústave stačí vypočítať prúd v jednej fáze, lebo prúdy v ďalších dvoch fázach majú rovnakú veľkosť a sú voči vypočítanému prúdu posunuté o 120° a –120°.

Admitancia (impedancia) nulového vodiča pri nesymetrickej záťaži môže ovplyvniť mieru nesúmernosti fázových napätí záťaže.

Zo vzťahu (9) vyplýva, že ak Ŷ0 = 0, t.j. vtedy ak nulový vodič nie je vyvedený, je napätie  Û0 maximálne a teda aj nesymetria fázových napätí záťaže je maximálna. Opačne, ak  Ŷ0 rastie, napätie  Û0 klesá, teda klesá aj miera nesymetrie. Uvedená skutočnosť môže ovplyvniť aj výsledky experimentu, ak medzi nulovým bodom objektu a nulovým bodom meracieho systému je rozdiel potenciálov.

Zdroj zapojený do trojuholníka a záťaž do hviezdy

Pomocou Ohmovho zákona vypočítame fázory prúdov záťaže. Ak je zdroj súmerný, čo v prípade distribučnej siete predpokladáme, môžeme zo známych združených napätí zdroja určiť veľkosť fázových napätí ekvivalentného zdroja zapojeného do hviezdy.

Zdroj aj záťaž zapojené do trojuholníka

Fázové prúdy záťaže môžeme v tomto prípade vypočítať priamo pomocou Ohmovho zákona. Ako vyplýva z obr.8, sú impedancie záťaže , pripojené bezprostredne na združené napätia Û13, Û21, Û32. Potom platia vzťahy podľa Ohmovho zákona

                                                                 (14)

Sieťové prúdy, tečúce vodičmi vedenia môžeme vypočítať na základe uzlového zákona z rovníc

                                (15)

Uvedený postup platí pre všetky varianty súmernosti  i nesúmernosti zdroja a spotrebiča. Ak pri riešení musíme brať do úvahy aj impedancie vedenia, potom môžeme obvod riešiť metódou slučkových prúdov, alebo urobíme transfiguráciu záťaže na ekvivalentnú hviezdu a výpočet urobíme postupom uvedeným predtým. Ak zdroj i záťaž sú súmerné, stačí obvod riešiť  iba pre jednu fázu.    

Poznámka

V predchádzajúcej časti sme uviedli, že trojfázová sústava môže byť nesúmerná. Analýzu nesúmernej sústavy môžeme urobiť metódou súmerných zložiek s komplexnými operátormi.

,     ,                                

Domáca úloha:

Urobte Analýzu výkonov spotrebiča v zapojení do hviezdy a do trojuholnika.