Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Trenčianska univerzita A. Dubčeka / Fakulta Sociálno Ekonomických vzťahov / Matematika I.

MATEMATIKA - TAHAK - TEORIA (matematika.doc)

POSTUPNOST – 3.1.1.funkciu f definovanú na množine všetkých prirodzených čísel N s oborom hodnôt v nejakej množine M nazývame postupnosťou. Hodnoty tejto funkcie nazývame členmi tejto postupnosti, teda prvok f(n) nazývame n – tým členom postupnosti a ozn. ho An(An=f(n)).  – ak množ. A je podmnož. reálnych čisel hovoríme o čiselnej postupnosti.   3.1.4. MONOTÓNOST - Povieme, že postupnosť {An} je rastúca (klesajúca, neklesajúca, nerastúca), ak pre každé prirodzené číslo n platí An<A n+1 (An>An+1 , An≤An+1 ,

An≥ An+1). Postupnosť kt. splňa 1 zo 4 vlastnosti budeme nazývať monotonou pričom rastúca a klesajúca nazývame rýdzomonotonou.   3.1.5.OHRANIČENOST – {An} je zhora (zdola) ohraničena ak existuje také reálne číslo K(k)že pre všetky N čísla n platí: An≤K (An≥k) VYBRANA POSTUPNOST A JEJ KONVERGENCIA 3.3.1. {An}, nech {kn}je rastúca postupnosť N čísel. Z postupnosti {An} vytvorme postupnosť {Akn} budeme ju nazývať vybranou postupnosťou z postupnosti {An} .3.3. KONVERGENTNA/ DIVERGENTNA ak postupnosť {An} je konvergentná a má limitu číslo potom aj z nej vybrane budú obsahovať to isté. 3.3.4. postupnosť {An} môže byť divergentná, aj keď niekt. z nej vybraná postupnosť je konvergentná. KAZDA KONVERG. POST. JE OHRANICENA – dôsledok neohraničená postupnosť je divergentná  napr. {4n} ohraničenenosť je teda nutnou podmienkou konvergencie postupnosti. 3.4. ZAKL. VETY O LIMITE 3.4.1.každá postupnosť ma najviac jednu limitu (buď nejakú, alebo práve 1) 3.4.2. postupnosť {An}∞n=1 má limitu číslo a vtedy a len vtedy, ak postupnosť {An – A}∞ má limitu 0 3.4.6. Ak {An} a {Bn} sú konvergentné a pre skoro všetky členy týchto postupnosti platí An≤Bn, potom platí limAn≤limBn.  3.4.8. každá konvergentá postupnosť je ohraničená a neohraničená je divergentná   3.4.9. každá monotonna a ohraničená postupnosť je konvergentná NEVLASTNA LIMITA POSTUPNOSTI  postupnosť {An} má nevlastnú limitu = ∞ / -∞ ak pre všetky A existuje n0, pričom n> n0 => lim An = ∞ / -∞ 3.5.3. ak postup. An je neklesajúca /nerastúca zhora (zdola) neohraničená potom lim = ∞ / -∞ 3.5.4. ak postup. An má nevlastnú limitu = ∞ / -∞ potom pre všetky z nej vybraná postup. má nevlastnú limitu ∞ ( -∞) 3.5.5. ak 2 postup. vybraé z danej postup. majú riešenie limity, potom limita danej postupnosti neexistuje CISLO E – postupnosť ktorej n- tý člen ma tvar An = (1 + 1/n)n je konvergentná. VETA O LIMITE SUCTU, PODIELU, SUCINU – ak sú postupnosti {An} a {Bn} konvergentné , potom aj postupnosti {An +Bn} a {AnBn} sú konvergentné ak lim An =a, lim Bn=B tak potom lim{An +Bn} = a + b, lim{AnBn} = ab, ak najviac plati, že B≠0 tak aj postup. {An/Bn} je konvergentná limAn/Bn = a/b. LIMITA FUNKCIE – 4.1.2. Heineho def. limity funkcie – hovoríme, že funkcie f má v bode a limitu číslo b, ak pre každú postupnosť {Xn}, pre kt. platí lim Xn=a, Xn≠Df, platí, že limf(Xn)=b, ak má funkcie f v bode a limitu číslo b, tak to zapisujeme : lim f(x)=b. 4.2.2. Cauchyho def. limity funkcie – hovoríme, že funkcie f(x) má v bode a limitu číslo b, ak pre každé okolie Uε(b) čísla b existuje také okolie Uδ(a) bodu a, že pre všetky xЄ Uδ(a) také že x≠ a platí f(x)Є UЄ(b) JEDNOSTRANNE LIMITY FUNKCIE – funkcia f je definovaná pre všetký x , x≠a, niekt. pravého (ľavého) okolia bodu a , hovoríme že funkcia f má v bode a limitu zprava (zľava) = a číslu e , ak pre každé postupnosť Xn splňajú podmienky lim Xn, Xn+a, Xn ε D(f) NEVLASTNA LIMITA FUNKCIE – funkcie f kt. je definovaná v istom okolí bodu a (v bode a nemusí byť) má v bode a nevlastnu limitu ∞ / -∞ak pre každú postuppnosť {Xn} SPOJITOST FUNKCIE –4.7.1. funkcie f je v bode a spojitá ak lim (x→a)  f(x) = f(a). – v danom bode je definovaná, v tomto bode má limitu,

4.7.4. limita funkcie f(x) =f(a) = funkcie vdanom bode hovoríme  lim(x→a+)  f(x) – spojitá z prava    lim(x→a-)  f(x) = f(a) – spojitá z ľava 4.7.5. funkcia f je v bode a spojitá <=> ak je v danom spojita z ľava a prava. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na (a,b) ak je spojitá v každom bode tohto intervalu. Funkcia f sa nazýva spojitá na <a,b> ak je spojitá na otv. intervale (a,b) a ak v bode a je spojitá z sprava a v bode b zľava. VETA O SPOJITOSTI INVERZNEJ FUNKCIE – ak funkcie f je rastúca (klasajúca) a spojitá na nejakom intervale J, tak aj k nej inverzná funkcie f(-1) je rastúca (klesajúca) a spojitá na množine funkčných hodnôt funkcie f, kt. je tiež interval. VETA O SPOJITOSTI ZLOZENEJ FUNKCIE – ak je funkcia g(x) spojitá v bode a a funkcie f(u) je spojitá v bode b=g(a) tak aj zložená funkcia f(g(x)) je spojitá v bode a. 4.7.6. každá elementárna funkcie je spojitá v každom bode svojho D(f), body v kt. funkcie nie je spojitá nazývame BN.  môže byť BN z týchto príčín (funkcia f nemá v bode a limitu, funkcia f nie je v bode a definovaná, funkcia f má síce v bode a limitu ale neplatí lim (x→a) f(x) = f(a) – BN funkcie f v kt. má táto funkcie limitu zľava aj sprava nazývame BN prvého druhu ostatné BN nazývame BN druhého druhu. ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE – priamka kt. má rovnicu x = a nazývame ABS, grafu funkcie f ak funkcia f má v bode a nevlastnu limitu, alebo nevlastnú limitu zľava alebo nevlastnu limitu sprava, ak je asymtota kolma na osX nazýva sa ABS 4.6.2. ASS – priamka kt. má rovnicu y= ax+b nazývame ASS grafu funkcie f ak platí lim(∞) (f(x) – (ax+b))= 0,

lim(-∞)  (f(x)-(ax+b))=0 4.6.3. nech existuje lim f(x) /x a nech a= lim f(x) /x. Nech existuje lim(f(x) – ax) a nech b= lim(f(x) – ax). Potom priamka y=ax+b je asymtotou so smerniocu grafu funkcie f(x). 4.6.4. nech existuje lim(-∞) f(x) /x a nech a= lim( -∞) f(x) /x. Nech existuje lim( -∞) (f(x) – ax) a nech b= lim( -∞) (f(x) – ax). Potom priamka y=ax+b je asymtotou grafu funkcie f(x)***********

DERIVACIE FUNKCIE – nech je daná funkcia f s D(f) a číslo Xo Є D(f). Nech x je ľubovoľné číslo z D(f). Rozdiel X – Xo, kt. ozn. symbolom ∆ x, nazývame prírastok argumentu  DEF. nech funkcia f definovaná v bode Xo a v nejakom jeho okolí. Ak existuje limita lim(∆x→0) f(Xo + ∆x) – f(Xo) /  ∆x tak túto limitu nazývame deriváciou funkcie f. v bode Xo a ozn. ju f´(Xo)  5.1.1. Funkcia f ma v bode Xo deriváciu ↔ keď má v tom bode deriváciu sprava i zľava a tieto jednostranné derivácie sa =. Potom platí:

f ´+(Xo)=f ´–(Xo)=f ´(Xo). ZAKLADNE PRAVIDLA DERIVOVANIA- f1, f2, majú v bode Xo deriváciu potom aj funkcie  

F= c1f1+c2f2, kde c1,c2 sú ľubovoľné konštatny a platí: F ´(Xo)=c1f1 ´(Xo)+c2f2 ´(Xo). 51.2. f1,f2 majú v bode Xo deriváciu , potom aj funkcie kt. je v tvare F=f1(X) . f2(x) má deriváciu v bode Xo deriváciu tak potom platí: F´(Xo)=f1´(Xo)(f2(Xo)+f1(Xo)f2´(Xo)) VETA O DERIVACII ZLOZENEJ FUNKCII – funkcia má φ (x) deriváciu v bode Xo a funkcie f(u) deriváciu v bodu Uo= φ(Xo) . Potom aj zložená funkcie F(X)=f(φ(x)) má deriváciu v bode Xo, kde Uo= φ(Xo) a platí F´(Xo)=f ´(Uo) φ´(Xo). LEIBNITZOV VZOREC – urrč. je nám funkciu vyššieho radu u(x), v(x) sú funkcie definované na množine M, kt. majú deriváu až po n-ty rád vrátane FERMATOVA VETA – ak funkcia f nadobúda v bode c minimálnu /maximálnu hodnotu a má v tom bode deriváciu tak f ´(c) =0. ROLLEOVA VETA – nech ma funkcia f tieto vlastnosti – je spojitá na <a,b>, - v každom bode (a,b) má deriváciu, - platí f(a)=f(b). Potom v (a,b) existuje aspoň jeden bod c taký že f ´(c)=0. LAGRANGEOVA VETA O PRIRASTKU FUNKCIE – nech funkcia f má tieto vlastnosti: - spojitá na <a,b>, - v každom bode (a,b) má deriváciu, -v každom bode (a,b) existuje aspoň jeden bod c taký, že platí: f(b) – f(a) = f ´(c)(b-a). CAUCHYHO VETA O PRIRASTKU FUNKCIE – nech funkcie f a φ majú tieto vlastnosti: -sú spojité na <a,b> , -na (a,b) existuje derivácia f ´(x) i φ´(x) , - pre všetky x Є (a,b) existuje aspoň jeden bod c taký, že platí: f(b) – f(a) / φ (b) – φ(a) = f ´(c) / φ´(c). L´HOSPITALOVO PRAVIDLO – 1. – lim(x→a) f(x)= lim(x→a) g(x) =0 2. –existuje lim(x→a) f ´(x) / g´(x) (vlastná al. nevlastná limita) PRIEBEH FUNKCIE (monotonosť) – funkcie f spojitá na intervale J a nech má v každnom vnútorn. bode toho intervalu deriváciu. Ak je v každom bode x intervalu J: a)f ´(x) > 0 - rastúca, b) f ´(x) < 0 - klesajúca, c) f ´(x)  ≥0 - neklesajúca, d) f ´(x) ≤ 0 – nerastúca KONVEXNOST A KONKAVNOST – 6.1.1 f je funkcia , kt. je spojitá na intervale J a vkaždom vnútorn. bode má deriváciu. Hovoríme že f je konvexná (konkávna) na intervale J, ak pre každú dotyžnicu jej grafu platí, že všetky body grafu okrem dotykového bodu ležia nad (pod) priamkou. 6.1.2. Vyšetrovanie intervalov konvexnosti a konkávnosti – ak funkcia y=f(x) má na (a,b) + / - druhu deriváciu tak funkcia f je konvexná (konkávna) na intervale (a,b) – a ak f je naviac spojitá v bodoch a,b tak je konvexná (konkávna) na intervale <a,b> 6.1.3. Zmena obluku –   z konvexneho na konkávny nazývame ,,inflexný bod,, (ak funkcia f má v bode Xo deriváciu a v ľavom okolí bodu Xo je konvexná (konkávna) a v pravom okolí bodu Xo je konkávna (konvexná) tak má f v bode Xo inflexný bod) – inflexný bod ako zmena znamienka druhej derivácie a platí: - ak funkcia f má v bode Xo deriváciu a existuje δ>0, také že pre x Є (Xo –δ, Xo) platí nerovnosť že y´´ je kladná a ta f ´´ (x)>0 a pre x druhého intervalu x Є (Xo, Xo+δ) platí nerovnosť že f ´´(x)<0 a (f ´´(x)>0) tak bod (Xo f(Xo)) nazývame inflexným bodom grafu funkcie f alebo hovoríme , že funkcia f má v bode Xo inflexiu LOKALNE EXTREMY - nastávajú len v stacionárnych bodoch, stacionárny bod dosadíme do druhej derivácie a ak hodnota v tomto bode < 0 ide o lokálne maximum ak je > 0 ide o lokálne miminum ak dosadíme daný stac.bod do pôvodnej funkcie dostaneme funkčnú hodnotu lokálného max/min. – nech funkcia f má v bode Xo deriváciu až po n-ty rád a ta derivácia f(n) ≠(Xo)  0, n≥ 2 a nech f ´(Xo)=f ´´(Xo)=....= f (n-1) (Xo) a tie derivácie sú = 0 – ak je n párne a n-tá derivácie je kladná f n > 0 / f n <0 tak na funkcia v bode Xo má ostré lokálne minimum/ maximum a ak je nepárne tak funkcia f má v bode Xo inflexný bod PRIEBEH FUNKCIE POSTUP a) D(f) b)párnosť/nepárnosť  c)inverzná funkcia  d)monotonosť  e)konvexnosť, konkávnosť  f)lokálne extrémy  g)asymtoty ku grafu LOGARITMICKE DERIVOVANIE – použ. práve vtedy, ak máme funkciu umocnenu na funkciu u(x) v(x)

ASYMTOTY KU GRAFU FUNKCIE – ABS – x=a ASS – y=kx . q,   k= lim f(x) / x   ,  q=lim f(x) – kx a dosadím do y GLOBALNE EXTREMY FUNKCIE – nech funkcia f definovaná na intervale J a nech Xo ε J. Funkčná hodnota f(Xo) sa nazýva globálne maximum (minimum) funkcie f na intervale J, ak pre každé xЄJ platí f(x) ≤  f(Xo)  (f(x) ≥ f(Xo))        

Є         ≤       ≥               →                  ∞ ( -∞)        ∆

ahoj ako sa mas?