Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Ekonomická univerzita / Podnikovohospodárska Fakulta / Matematika

matika A teor (matika_a-teoria.doc)

Funkcia jednej reálnej premennej:

1. Nech A je neprázdna množina. Zobrazenie f množiny A do množiny R nazývame reálnou funkciou. Reálna funkcia je teda zobrazenie f: AR, ktoré každému prvku xA priradí jediné reálne číslo y=f(x).

2. Reálnu funkciu f: AR, AR nazývame reálnou funkciou jednej reálnej premennej.

3. Ak f: AR je funkcia, tak množína A sa nazýva definičný obor funkcie f a označuje sa znakom D(f) a množina f(A)=yR y=f(x), xA sa nazýva obor hodnôt funkcie f a označuje sa H(f).

4. Z definície ohraničenosti množiny zdola, zhora vyplýva, že funkcia f je zhora (zdola) ohraničená na množine A práve vtedy, ak existuje také reálne číslo k[h], že pre všetky xA platí: f(x)k (f(x)h). Analogicky dostaneme, že funkcia f je ohraničená na množine A, práve vtedy, ak existuje číslo K0, že platí f(x)K, pre každé xA.

5. Funkcia f je párna (nepárna) na množine AD(f), ak pre každé xA je tiež -xA a platí f(x)=f(-x) [f(-x)=-f(x)].

6. Funkciu f nazývame periodickou, ak existuje také kladné číslo p0, že platí: a) xD(f)x+pD(f), b) pre každé xD(f) je f(x+p)=f(x).

7. Funkciu f nazývame prostou na množine A, ak pre každé dva body x1, x2A, x1x2, platí f(x1)f(x2).

8. Nech funkcia f je prostá na množine AD(f). Potom inverznou funkciou f –1 definovanou na množine f(A) k funkcii f definovanej na A, nazývame predpis, podľa ktorého každému prvku xf(A) priradíme prvok yA, tak že f(y)=x. Ak A=D(f), hovoríme o inverznej funkcii k funkcii f. Zo vzťahov f(y)=x a y=f –1(x) dostávame: xf(A):f(f –1(x))=x, yA:f –1(f(y))=y.

Postupnosti:

1. Funkciu f: NR nazývame postupnosťou reálnych čisel (nekonečnou postupnosťou reálnych čísel) a prvok f(n)=an nazývame n-tý člen postupnosti. Postupnosť značíme: (an) n=1.

2. Nech je daná postupnosť (an) n=1 a rastúca postupnosť (kn) n=1, ktorej členy sú iba prirodzené čísla. Potom postupnosť (a k n) n=1 nazývame vybranou postupnosťou.

3. Hovoríme, že postupnosť (an) n=1 má limitu aR* a píšeme limn∞an=a alebo (n)  ( ana), ak v každom okolí O(a) ležia skoro všetky členy tejto postupnosti. 4.Definíciu limity postupnosti môžeme zapísať takto: limn∞an=a, aR*  O(a), KR, nK:anO(a).

5. Limitu postupnosti limn∞an=a nazývame vlastnou limitou postupnosti a samotnú postupnosť konvergentnou. Limity limn∞an=+ a limn∞an=- nazývame nevlastné limity postupnosti a dané postupnosti divergentné. Divergentné sú aj tie, ktoré nemajú žiadnu limitu.

6. Ak má postupnosť (an) n=1 limitu, tak každá vybraná postupnosť (akn) n=1 z postupnosti (an) n=1 má tú istú limitu.

7.Každá postupnosť má najviac 1 limitu. Limita konštantnej postupnosti (an) n=1 je číslo a. limn∞(1+1/an)an=e

Limity funkcie:

1. Nech AR a aR*. Bod a nazývame hromadným bodom množiny A, keď každé jeho neúplné okolie O(a) obsahuje aspoň jeden bod z množiny A. Bod a, ktorý nie je hromadným bodom množiny A nazývame izolovaným bodom množiny A.

2. Bod aR* je hromadným bodom množiny M práve vtedy, ak každé okolie O(a) obsahuje nekonečne veľa prvkov množiny M.

3. Hovoríme, že funkcia f má v hromadnom bode aR* definičného oboru D(f) limitu bR* práve vtedy, ak pre každé O(b) existuje neúplné -okolie O(a), že xO(a)D(f)  f(x)O(b).

Jednostranné limity:

1. Hovoríme, že funkcia f má v bode aR limitu zľava rovnú b1R* a píšeme limxa-f(x)= b1 práve vtedy ak platí: a.) Bod a je hromadným bodom množiny D(f)(-,a). b.) K ľubovoľnému okoliu O(b1), existuje okolie O-(a) také, že pre každé xO-(a)D(f)  f(x)O(b1).

Hovoríme, že funkcia f má v bode aR limitu sprava rovnú b2R* a píšeme limxa+f(x)= b2 práve vtedy ak platí: a.) Bod a je hromadným bodom množiny D(f)(a,). b.) K ľubovoľnému okoliu O(b1), existuje okolie O+(a) také, že pre každé xO+(a)D(f)  f(x)O(b2).

Spojitosť funkcie:

1. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode aD(f) práve vtedy, keď pre každé O(f(a)) existuje také okolie O(a), že platí: xO(a)D(f)  f(x)O(f(a)).

2. (Jednostranná spojitosť): Nech je daná funkcia f a nech bod a je hromadným bodom množiny D(f)(-,a), D(f)(a,). Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a zľava (sprava) práve vtedy, ak: limxa-f(x)=f(a)  limxa+f(x)=f(a).

3. Weierstrassova veta: Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a,b, ab, a,bR. Potom: a.) Funkcia f je na tomto intervale ohraničená. b.) Funkcia f nadobúda na tomto intervale maximálnu a minimálnu hodnotu, t.j. existujú také čísla c,da,b, že platí: xa,b  f(c)f(x)f(d).

4. Cauchy-Bolzanova veta: Nech funkcia f je spojitá na intervale a,b a nech f(a).f(b)0. Potom existuje taký bod c(a,b), že f(x)=0.

Asymtoty grafu funkcie:

1. Nech funkcia f je definovaná aspoň v jednom okolí O+(a), O-(a), aR. Priamku x=a nazývame asymtotou bez smernice grafu funkcie f práve vtedy, ak nastane aspoň jeden z nasledujúcich prípadov: limxa+f(x)=∞, limxa-f(x)=∞, limxa+f(x)=-∞, limxa-f(x)=-∞.

2. Nech funkcia f je definovaná aspoň v jednom okolí O(+), O(-). Potom priamku p: y=kx+q nazývame asymtotou so smernicou grafu funkcie f práve vtedy, ak platí: limx+(f(x)-(kx+q))=0 alebo limx-(f(x)-(kx+q))=0.

Derivácia funkcie:

1. Ak existuje limita limxx0f(x)-f(x0)/(x-x0), x0R, tak túto limitu nazávame deriváciou funkcie f v bode x0 a označujeme ju f ´(x0).

2. Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí O(x0). Potom funkcia f má v bode x0 deriváciu práve vtedy, ak má v tomto bode deriváciu sprava a zľava a obe sa navzájom rovnajú.

3. Ak funkcia f má v bode x0 deriváciu, potom je v tomto bode spojitá. Dôkaz: Platí, že f(x0+h)=f(x0+h)-f(x0)/h*h+ f(x0) z čoho limitovaním pre h0 dostaneme limh0 f(x0+h)=f ´(x0).0+f(x0) čiže je spojitá v x0.

4. Derivácia zloženej funkcie: Nech funkcia g má deriváciu v bode x0 a nech funkcia f má deriváciu v bode u0=g(x0). Potom zložená funkcia f(g) má deriváciu v bode x0 a platí: f(g(f(x0))´=f´(u0)g´(x0).

Diferenciál funkcie:

1. Nech funkcia f je definovaná v okolí bodu x0. Hovoríme, že funkcia f je v bode x0 diferencovateľná (má v bode x0 diferenciál) práve vtedy, ak prírastok funkcie f= f(x0+h)-f(x0) môžeme vyjadriť v tvare (x0+h)-f(x0)=Ah+h(h), kde A je konštanta a  funkcia, pre ktorú platí: limh0 (h)=(0)=0.

2. Funkcia f je v bode x0 diferencovateľná práve vtedy, ak má v tomto bode deriváciu, pričom df(x0)=f ´(x0)h.

Vety o strednej hodnote. Monotónnosť funkcie:

1. Fermatova veta: Nech funkcia f nadobúda v nejakom bode c(a,b) maximálnu (minimálnu) hodnotu a nech existuje f ´(c). Potom je f ´(c)=0.

2. Rolleova veta: Nech funkcia f má tieto vlastnosti: je spojitá na intervale a,b, je diferencovateľná na intervale (a,b), a f(a)=f(b). Potom existuje aspoň jeden bod c(a,b), taký že f ´(c)=0.

3. Cauchyho veta: Nech funkcie f a g majú tieto vlastnosti: sú spojité na intervale a,b, sú diferencovateľné (a,b), a g´(x)0, pre x(a,b). Potom existuje aspoň jedno číslo c(a,b), pre ktoré platí: (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f ´(c)/g´(c).

4. Lagrangeova veta: Nech funkcia f má tieto vlastnosti: je spojitá na a,b, je diferencovateľná na (a,b). Potom existuje taký bod c(a,b), pre ktorý platí: (f(b)-f(a))/(b-a)=f ´(c), resp. f(b)-f(a)=f´(c)(b-a).

5. Postačujúca podmienka monotónnosti funkcie na intervale: Nech funkcia f je spojitá na intervale I (konečnom alebo nekonečnom) a nech je v každom vnútornom bode tohto intervalu diferencovateľná. Ak v každom vnútornom bode intervalu I platí: f´(x)0 rastúca, f´(x)0 klesajúca, f´(x)0 neklesajúca, f´(x)0 nerastúca.

Elasticita funkcie:

-vyjadruje, o koľko percent sa zmení funkčná hodnota funkcie f, ak argument x vzrastie z hodnoty x0 o 1.

Číslo (f(x0)) voláme elasticitou funkcie f v bode x0. Funkciu (f(x)) nazývame elasticitou funkcie f.

L´Hospitalovo pravidlo:

1. Nech limxx0f(x)= limxx0g(x)=0. Ak existuje vlastná alebo nevlastná limita limxx0f´(x)/g´(x), potom tiež existuje limita limxx0f(x)/g(x) a platí, že tieto sa rovnajú.

Konvexnosť, konkávnosť:

1. (podmienka): Nech funkcia f je diferencovateľná na intervale (a,b). Funkcia f´ je rastúca (klesajúca) na intervale (a,b) práve vtedy, ak funkcia f je konvexná (konkávna) na intervale (a,b).

2. Ak má funkcia f v každom bode intervalu (a,b) kladnú (zápornú) druhú deriváciu, potom je na tomto intervale konvexná (konkávna).

Inflexný bod:

1. Ak f´´(x)0, pre x(a,x0) a f´´(x)0, pre x(x0,b) a existuje f´(x0) potom x0 je inflexný bod funkcie f. Ak f´´(x)0, pre x(a,x0) a f´´(x)0, pre x(x0,b) a existuje f´(x0) potom x0 je inflexný bod funkcie f.

Extrémy funkcie:

1. (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému): Ak funkcia f má v bode x0 lokálny extrém a ak existuje v tomto bode derivácia f´(x0), tak f´(x0)=0.

2. Hovoríme, že funkcia f má v bode x0 lokálne maximum minimum práve vtedy, ak existuje také neúplné okolie O(x0), že pre všetky xO(x0) je f(x)f(x0) f(x)f(x0). Ak platí v uvedených nerovnostiach  iba znak nerovnosti, hovoríme, že funkcia f má v bode x0 ostré lokálne maximum (minimum). Lokálne maximum a minimum nazývame spoločným názvom lokálne extrémy.

3. Ak existujú jednostranné derivácie f´+(x0), f´-(x0) a pre ne platí: f´-(x0)0  f´+(x0)0 f´-(x0)0  f´+(x0)0, tak funkcia f má v x0 ostré lokálne maximum (minimum).

4. (Postačujúca podmienka pre existenciu ostrého lok. ext.): Nech x0 je stacionárny bod funkcie f. Ak existuje f´´(x0)0, tak funkcia f má v bode x0 ostrý lokálny extrém a platí: Ak f´´(x0)0 (f´´(x0)0), tak funkcia f má v tomto bode ostré lok. maximum (minimum).

5. Absolútne extrémy: Ak interval I je uzavretý a funkcia f je na tomto intervale spojitá, tak podľa Weierstrassovej vety nadobúda na intervale I absolútne maximum. Algoritmus: Určíme všetky lok. maximá a minimá na intervale (a,b) a vypočítame hodnoty f(a), f(b). Potom porovnáme nájdené lok. max. a minimá a hodnoty f(a), f(b) a vyberieme z nich najväčšiu a najmenšiu hodnotu. Takto nájdená najväčšia hodnota bude absol. max. a najmenšia minimom.

Neurčitý integrál:

1. Nech funkcia F je primitívna k funkcii f na intervale I. Potom: a) aj funkcia F+C, CR, je primitívna funkcia k funkcii f na intervale I b) každá primitívna funkcia k funkcii f na intervale I je tvaru G(x)=F(x)+C.

2. Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii f na intervale I nazývame neurčitý integrál funkcie f na intervale I a označujeme ho f(x)dx=F(x)+C, xI, CR.

3. Integrovanie substitučnou metódou: Nech funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale J a nech funkcia g má deriváciu v každom bode intervalu I. Ďalej nech pre každé xI je g(x)J. Potom na intervale I je zložená funkcia F(g) primitívna funkcia k funkcii f(g).g´, t.j.: f(g(x))g´(x)dx=F(g(x))+C, xI. Dôkaz: F(g(x))+C´=F´(g(x))g´(x)=f(g(x))g´(x).

4. Integrovanie metódou per partes: Nech funkcie u,v majú spojité derivácie na intervale I. Potom na tomto intervale platí: u(x)v´(x)dx=u(x)v(x) - u´(x)v(x)dx.

Určitý integrál:

1. (Nutná podmienka existencie určitého integrálu): Ak funkcia f je integrovateľná na intervale a,b, potom je na tomto intervale ohraničená.

2. Ak funkcia f je na intervale a,b ohraničená a na tomto intervale má konečný počet bodov nespojitosti, potom je na intervale a,b integrovateľná.

3. Ak funkcia f je na intervale a,b spojitá, potom funkcia f je na tomto intervale integrovateľná.

Vlastnosti urč.integ.:

1. Nech funkcie f1, f2,fn sú integrovateľné na intervale a,b a nech k1, k2,knR. Potom platí: abk1f1(x)+k2f2(x)++knfn(x)dx=k1abf1(x)dx+k2abf2(x)dx++knabfn(x)dx.

2. Ak funkcia f nadobúda na intervale a,b nezáporné hodnoty a je na tomto intervale integrovateľná, potom abf(x)dx0.

3. Ak funkcie f, g sú integrovateľné na intervale a,b a pre všetky xa,b platí f(x)g(x), tak abf(x)dxabg(x)dx.

4. (Veta o strednej hodnote integrálneho počtu): Nech funkcia f je spojitá na intervale a,b. Potom v tomto intervale existuje číslo c, že platí abf(x)dx=f(c)(b-a).

5. Nech funkcia f je integrovateľná na intervaloch a,c, c,b. Potom je integrovateľná aj na intervale a,b a platí abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx.

Metódy výpočtu urč. integ.:

1. Leibnizova-Newtonova veta: Nech funkcia f je integrovateľná na intervale a,b a nech funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na tomto intervale. Potom platí abf(x)dx=F(x)ab=F(b)-F(a).

2. Substitučná metóda: Nech sú splnené nasledujúce predpoklady: a) funkcia f je spojitá na intervale a,b b) funkcia g má na intervale , spojitú deriváciu c) t,:g(t)a,b d) a=g(), b=g(). Potom platí: abf(x)dx=f(g(t))g´(t)dt.

3. Per partes: Nech funkcie u a v majú spojité derivácie na intervale a,b. Potom platí: abu(x)v´(x)dx=u(x)v(x)ab-abu´(x)v(x)dx.

4. Obsah plochy rovinného útvaru: Obsah P plochy rovinného útvaru je rozdielom obsahov dvoch plôch rovinných útvarov: Plochy úrvaru ohraničeného priamkami y=0, x=a, x=b a grafom funkcie f, ktorej obsah je P1=abf(x)dx a plochy rovinného útvaru ohraničeného priamkami y=0, x=a, x=b a grafom funkcie g, ktorej obsah je P2=abg(x)dx. Potom P=P1 – P2=abf(x)dx-abg(x)dx=abf(x)-g(x)dx.

5. Objemy rotačných telies: Pre funciu f: y=f(x), ktorá je nezáporná, spojitá na intervale a,b na výpočet objemu rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny ohraničenej grafom funkcie f, osou x-ovou na tomto intervale platí V=ab(f(x))2dx.

Nevlastný integrál:

1. Nevlastný integrál na neohraničenom intervale: Nech funkcia f je definovaná na intervale a, -,b a nech pre každé ta,) t(-,b existuje integrál at f(x)dx tbf(x)dx. Ak existuje vlastná limita limtat f(x)dx limt-tbf(x)dx, hovoríme, že nevlastný integrál af(x)dx -bf(x)dx konverguje a kladieme af(x)dx=limtat f(x)dx -bf(x)dx=limt-tb f(x)dx. Nech funkcia f je definovaná na intervale (-,) a c je ľubovoľné reálne číslo. Ak konvergujú integrály -cf(x)dx, cf(x)dx, tak kladieme -f(x)dx=-cf(x)dx+cf(x)dx a hovoríme, že integrál -f(x)dx konverguje. Ak niektorý zo spomínaných nevlastných integrálov nie je konvergentný, tak hovoríme, že diverguje.

2. Nevlastný integrál neohraničenej funkcie: Nech funkcia f je definovaná na intervale a,b) (a,b a nech je neohraničená v každom ľavom okolí bodu b v každom pravom okolí bodu a. Ak existuje limita limtb-at f(x)dx limt-a+tbf(x)dx, tak hovoríme, že nevlastný integrál funkcie f na intervale a,b konverguje a kladieme abf(x)dx=limtb-at f(x)dx abf(x)dx=limta+tb f(x)dx. Ak funkcia f nie je ohraničená ani v každom pravom okolí bodu a ani v každom ľavom okolí bodu b a nevlastné integrály acf(x)dx, cbf(x)dx, c(a,b) konvergujú, tak kladieme abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx.

Číselné rady:

1. Bolzano-Cauchyho kritérium: Nutná  a postačujúca podmienka konvergencie radu je, aby ku každému   0 existovalo také prirodzené číslo N, že pre každé nN a pre každé prirodzené číslo p platí: an+1+an+2+...+an+p.

2. Nutná podmienka konvergencie: Ak rad an je konvergentný,tak limnan=0.

3. Prorovnávacie kritérium: Je založené na porovnaní vyšetrovaného radu an s vhodným radom bn. Rad bn volíme tak, aby vyhovoval jednému z nasledovných tvrdení: a) ak od urč. člena 0anbn a rad bn konverguje, konverguje aj rad an, b) ak od urč. člena anbn0 a rad bn diverguje, diverguje aj rad an.

4. D´Alembertovo limitné kritérium: Ak pre rad an je limn(an+1/an)1, tak rad je absolútne konvergentný a naopak.

5. Cauchyho limitné kritérium: q=limnnan. Ak q1, rad konverguje a naopak.

6. Cauchyho integrálne kritérium: Nech pre rad an existuje spojitá funkcia f(x), pre ktorú platí: a) f(x) je nerastúca pre xK,), b) f(n)=an pre nK. Potom, ak existuje Kf(x)dx, rad je konvergentný ak Kf(x)dx=, rad je divergentný.

Alternujúci rad:

1. Leibnizovo kritérium: Ak pre členy radu an platí a1a2a3…anan+1…0 a limnan=0, tak je konvergentný.

Funkcionálny rad:

1. Weierstrassovo kritérium: Toto kritérium na vyšetrenie rovnomernej konvergencie radu fn(x) je založené na nájdení takého konvergentného číselného radu an, aby pre každé xM platilo fn(x)an, n=1,2… Ak takýto číselný rad existuje, tak rad fn(x) rovnomerne konverguje na množine M.

Mocninové rady. Taylorov rad:

1. Interval a obor konvergencie mocninového radu n=0anxn, an0, pre skoro všetky n, zistíme tak, že najprv vypočítame k, ak existuje, teda k=limnan+1/an, alebo k=limnan. Potom polomer konvergencie =1/k pre k0, k. Ak k=0, tak =. Ak k=, tak =0. Interval konvergencie je (-).

2. Nech funkcia f má v čísle a derivácie všetkých rádov. Mocninový rad f(a)+f´(a)*(x-a)/1!+f´´(a)*(x-a)2/2!+…+fn(a)*(x-a)n/n!+… nazývame Taylorovým radom funkcie f v čísle a a označujeme ho T(f,a,x) alebo len T(f,a).