Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Trenčianska univerzita A. Dubčeka / Fakulta Sociálno Ekonomických vzťahov / Matematika I.

Otázky (otazky.doc)

Výrok-vyslovené/oznam.veta/ al.napísané vyjadrenie, o kt. má zmysel uvažovať, či je pravdivé al. nepravdivé. Pravdivý  výrok má logickú hodnotu 1, nepravdivý 0.Výr. sa označuje malým písmenom. Zložené výr. sa tvoria pomocou výroko-tvorných spojok .Pravdivostná hodnota zlož. výr. závisí od pravdiv.hodnôt jednotl. výr.. Negáciou pravdivého výr. je  nepravdivý výr.- kontra-diktorické výr. Negáciou negovaného výr. dostaneme pôvodný výr. Výr. forma-zápis, kt. nie je výrokom, obsahuje premenné a po dosadení vhodných konštánt za výr

. premenné dostaneme výrok. Kvantifikátory-existenčný , všeobec. . Konjukcia výr. p,q /pq, čít.a/ je  výr., kt. je pravdivý sú súčasne pravdivé oba výr. p, q. Disjunkcia výr.  p,q je výr. /pq,čít. alebo/, kt. je pravdivý, ak aspoň 1 z výr. p,q je pravdivý. Ostrá disjunkcia výr. p,q je výr./pq, čít. buď alebo/, kt. je pravdivý, ak práve 1  z výr. p,q je pravdivý .Implikácia výr. p,q je výr./pq, čít. ak, tak/, kt je nepravdivý ak výr. p je pravdivý a výr.q je

nepravdivý. Ekvivalencia výr.p,q je výr./pq,čít.práve vtedy,

ak/, kt je pravdivý  oba výr. majú rovnakú pravdiv. hodnotu. Výrokové formuly – používa :znaky pre výrok..premenné p,q,r…,znaky pre pravdiv. hodnoty 1,0, znaky pre  výrokotvorné spojky  ,pomoc. Znaky    { } tautológia-výrok. formula, kt. má tú vlastnosť, že z nej vznikne pravdivostný výr. pre ľubov. kombináciu pravdiv. hodnôt  výrok. premenných, kt. obsahuje. Kontradikcia- výrok. formula, kt. má tú vlastnosť, že z nej vznikne nepravdivý výr. pre ľubov. kombináciu pravdiv. hodnôt výrok.

premenných, kt. obsahuje. Splniteľnou formulou je výr. formula, kt. má tú vlastnosť, že z nej vzniknú pri  ohodnotení aj pravdiv. aj nepravdiv. výr. Hovoríme, že výr. formula F1 je  logicky ekvivalentná s výr. formulou F2, ak výr. formula F1F2 je tautológia.

Zákon dvojitej negácie

pq

Asociatívnosť disjunkcie

pqrqqr

Asociatívnosť konjukcie

pqrpqr

Komutatívnosť disjunkcie

pqpq

Komutatívnosť konjukcie

pq pq

Distributívnosť konj. vzhľ. na disj.

{pqrprqr}

Distributívnosť disj. vzhľ. na konj.

{pqrprqr}

deMorganove pravidlá

pqpq

pqpq

Nahradenie impl. disjunkciou

pqpq

Nahradenie negov. impl. konjukciou

pqpq je odvodené z

pqpqpqpq

Množina je súhrn  objektov, kt. nazývame prvky množiny. Množiny sa označujú veľkými písmenami, prvky malými. Množina môže byť určená vymenovaním prvkov/ak ich vymenujeme al. tvoria postupnosť/, al. charakter. vlastnosťou/ak je určená pomocou vlastností, kt. majú všetky jej prvky/ Ak množina neobsahuje žiaden prvokprázdna množina. Prvky množiny môžu byť tiež množiny.

N-prirodz. Č.

N0- prirodz. Č. a nula

Z- celé č.

Q- racionálne č.

R- reálne č.

C- komplexné č.

Keď každý prvok množiny A patrí aj do množiny  BA je podmnožinou B,AB Keď každý prvok A patrí do B a súčasne každý prvok B patrí do A A=B

Keď neplatí prvé ani druhéAB

Vzťahy AB, BA sa nazývajú Inklúzie množín A,B. A=BB a súčasne BA Pre každú množinu A platí AA,A,Pre množiny A,B,C platí, ak AB a súčasne BCAC- tranzitívnosť inklúzie.

Def. oborom  výr. formy Vx,y na množ. A je množ. D, kt. obsahuje všetky usporiadané dvojice prvkov množ. A, kt. Keď dosadíme do V x,y, dostaneme výr. Obor pravdiv. výr. formy V x,y na množ.A je množ. P, kt. obsahuje všetky uspor. dvojice  prvkov z D, kt. keď dosadíme do V x,y, dostaneme pravdivý výr. Príklad.

V x,y,: xy, A = {1,2,3}

D={1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3}

P={2,1,3,1,3,2}

Zjednotenie AB, Prienik AB, Prázdna množina ,{}

Matematická veta AB hovorí o nahrádzaní funkcie f v blízkosti bodu a jednoduchšou f, rweObrátená veta BA – nie je tautológiou voči pôvodnej veteObmenená veta B A  - je tautológiou voči pôvodnej vete. Priamy dôkaz A1A2….An, Nepriamy dôkaz – dokazujme obmenenú vetu, Dôkaz sporom-negujeme implikáciu a prídeme k sporu. Matematická indukcia: dôkaz robíme v 2 krokoch: pre najmenšie

prirodz. č. n a pre n+1 Maximum množiny – b je také č. z množ. X, že pre x platí  x b Minimum – a je také č. z množ. X, že pre xX platí ax Supremum, horná hranica-najmenšie horné ohraničenie  množiny X. Infimum, dolné ohraničenie-najväčšie dolné ohraničenie množiny. 1,3  max: 3, min: , sup.: 3, inf.:1

Vlastnosti rovnosti množín: reflexívnosť-A=A,symetričnosť-ak

A=B, tak B=A, tranzitívnosť- ak A=B a súčasne B=C, tak A=C

Postupnosť-funkcia f definovaná na množine všetkých prirodz. č. N s Hf  v nejakej množ. M., je to špeciálny prípad funkcie. Hodnoty tejto funkcie nazývame členy tejto postup. Ak sú to číslačíselná postup.

An  An +1rastúca-rýdzomonotóna

An   An  +1klesajúca-rýdzomonotónna

An   An +1neklesajúca-monotónna

An   An  +1nerastúca-monotónna

Vyjadrenie postup. : rekurentne al. vzorcom. Postup poznáme aritm. a geometr. Nazývajú sa aj nekonečné rady. AP:{a1,a1+d,a1+2d...}

an=a1+n-1*d

sn= n2 .a1+an

GP:an=a.qn-1

Sn=a1 . qn-1q-1

Akan a bn sú 2 postup., potom postup. an+ bn,an- bn,an . bn,an / bn nazývame súčtom, rozdielom, súčinom, podielom postup. an a bn.  Postup. je ohraničená zhora /zdola/, ak  také reálne č. K/k/, že  č. n platí: an K /ank/ K- horné, k dolné ohraničenie. Postup. je ohraničená, ak je súčasne   ohraničená zhora aj zdola.

Č. a sa nazýva lim postup. an, ak ku každému klad. č. ε  také č. n0, že  prirodz. Č nn0 platí an- a ε    Postup, kt. má

lim sa nazýva konvergentná., tá, kt. ju nemá je divergentná. Ak postup. má lim č. a, postup. konverguje k č. a. Keď z členov postup. {an}vytvoríme postup.{akn} – túto postup. nazývame vybraná postup. z postup. akn. Ak je postup. an konvergentná a má lim č. a, tak každá z nej vybraná postup. je konverg. a má lim. č. a.

Vety: každá postup. má najviac 1 lim.,postup. {an }má lim rovnú a vtedy, ak  {an- a} má lim č. 0. lim an=0 vtedy a len vtedy, ak lim

an=0.  Nech pre všetky členy postup. an platí, že an A /anA/ a nech

lim an=a, potom platí, že aA /aA/.  Ak postup. an a bn sú konvergentné a pre skoro všetky členy týchto postup. platí anbn  platí lim anlim bn.  Nech lim an=m a lim cn=m a nech pre skoro všetky členy postup. bn platí anbn  cn, potom platí lim bn=m.  

každá konverg. Postup. je ohraničená. Neohraničená je diverg.  Každá monotónna a ohranič. postup. je konverg.  platí, že lim 1n =0 a limc=c, kde c je ľubovoľ. reálne č.  Ak sú postup {an} a{ bn} konverg. aj postup. {an +bn}= a+b, lim {anbn}= ab. Ak naviac platí, že bn0 pre všetky prirodz. č. na a b0, tak aj postup. {an/bn} je konverg. A platí: lim anbn=ab.  Ak an je konverg. Postup. kt. má lim rovnú č. a, lim an = a každá z nej vybraná postup. je tiež konverg. A jej lim je rovná č. a. Postup. má nevl. lim  č. , ak ku každému č. A existuje také č. n0, že pre všetky prirodz. č. n n0 platí A an. Postupnosť má nevl. lim -  ak pre každé č. A existuje také č. n0, že pre všetky prirodz. č n n0 platí an  A. Nech je postup. An  neklesajúca /nerastúca/. Ak nie je zhora /zdola/ ohraničená lim an =  /lim bn = - /. Ak postup. an má nevl lim rovnú  / -/  každá z nej vybraná

postup. má lim   / -/.  Ak 2 postup. vybrané z danej postup. majú rôzne lim  lim danej postup. neexistuje.  Ak lim postup. an= ,  n z N, an  0  postup. 1an je konverg. A má lim rovnú 0.

Ak lim an = 0, pre n N, an  0  a  prirodz. č. no, pre kt. platí  n N, n n0, an 0 /an  0/, tak lim 1an =  /lim 1an = -/.

Ak lim an = / lim an = - /  ak c 0 lim c.an =   /lim c. an = - / Ak c  0   lim c. an  = -  /lim c. an = /.   Ak postup. an je ohraničená a lim postup. bn =  , tak súčet je rovný  /an+bn = /. Za tejto podmienky je podiel lim  anbn = 0. Limita funkcie : funkcia f.x je definovaná v istom okolí bodu a  / v bode a nemusí byť def. /.Heineho def.: lim je def. na základe postupnosti. Nech je funkcia

def. pre každé xa  a z niektorého okolia bodu A- Funkcia f má

v bode A lim = b, ak  postup. xn  spĺňajúcu podmienku xn Df, xna a lim xn = a  má odpovedajúca postup. funkčných hodnôt fxn lim = b.Cauchyho def. : lim je def. na základe okolia bodu. Nech je funkcia f def.  x  a z niektorého okolia bodu A. Hovoríme, že funkcia f má v bode A lim = b a ku každému Uε b bodu b   také U a bodu a, že  xU a x a je funkcia fx  Uε b. Z def. lim vyplýva, že existencia ani hodnota lim funkcie f v bode A nezávisí od hodnoty funkcie v bode A ani od toho, či je funkcia f a def. al. nie. Vety o lim funkcie: Funkcia má v bode a najviac 1 lim.;  lim xa  fx= b  lim xa fx –b =0.   Nech lim xa fx = b a nech  také U a, x  U a,, x  a  c1  fx c2.

Veta o lim 3 funkcií: ak lim xa  f1x = b a lim xa  f2x = b, a ak  také U a, x  U a, x  a je f1x  fx  f2x  lim xa   fx = b. Ak lim xa  f1x = b1, lim xa  f2x = b2

- lim xa   f1x + - f2x = b1 + - b2

lim xa  f1x. f2x = b1 .b2

1. lim xa  f1x  f2x = b1 b2   lim xa  f2x 0  b2 0
2. lim xa  k1f1x+k2f2x = k1 lim xa  + k2 lim xa   = k1. b1 + k2 . b2
3. lim xa  k fxn =k . bn

Veta o lim zlož. Funkcie: - lim xa  x = b   lim ub fu = B

-  U abodu a,  x Ua, x a, xb lim xa fx = B

Nevl. lim funkcie: funkcia f je def. v istom okolí bodu a / v bode a nemusí byť def./, má v bode a nevl. lim  /-/, ak pre  postup. xn, pre kt. platí lim n xn = a, xn  a, xn  Df, platí, že lim n fxn =  /-/.  Ak lim x  a f1x = b /b  0/  a lim x  a f2x = 0 a x a z niektorého okolia bodu a je

funkcia f2x  0, tak lim x  a f1x / f2x = . Ak f2x  0, tak lim x 

a f1x / f2x = - .   Ak  je funkcia f1 v určitom okolí bodu a ohraničená a lim x  a   f2x = , tak lim x  a

f1x + f2x = + .   lim x  a

f1x / f2x = 0.     Ak lim x  a

f1x =  a  kladné č. p, že pre  x a z niektorého okolia bodu a, f2x  p, tak lim x  a   f1x . f2x =   Lim a nevl. lim v bode + a  – : limx   fx = b   lim n  xn = , xn  Df  lim n 

fxn = b,  lim x  fx = b  lim n  xn = -, xn  Df  lim n   fxn = b,  lim x  fx =    lim n  xn = , xn  Df  lim n   fxn = ,   lim x fx = -    lim n   xn = , xn  Df  lim  n   fxn = -   Jednostranné lim: nech funkcia f je definovaná pre  x  a z niektorého pravého / ľavého/ okolia bodu a. Potom hovoríme, že funkcia f má v bode a lim sprava /zľava/ = b, ak každú postup. xn spĺňajúcu podmienky lim xa xn = a, xn  Df, xn  a / xn   a/ má postup. funkčných hodnôt fxn  lim xa+ fx = b 

lim n

 xn  Df, xn a  lim n fxn = b,  lim xa- fx = b  lim n  xn = a, xn  Df, xn a lim n fxn = b, Lim. funkcie fx existuje vtedy, keď  lim xa+ fx = lim xa- fx  Funkcia 1 premennej: je to predpis, podľa kt. každému prvku z množ. M /množ. vzorov/ je priradený 1 prvok z množ. N /množ. obrazov/ y = fx. Funkcia môže byť vyjadrená  def. oborom a predpisom, tabuľkou al. grafom. Funkcie delíme: algebraické – sú tvorené konštantami, premennou s konečným počtom algebraických  operácií sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie  s racionálnym exponentom. Transcendentné: nižšie: exponenciálne, logaritmické, goniometrické, cyklometrické. Vyššie: sú tvorené integrálnymi a diferenciálnymi rovnicami. Funkcie aalgebraické, transcendentné nižšie a funkcie, kt. z nich môžeme vytvorť sa nazývajú elementárne.

Vlastnosti funkcií: monotónnosť-

funkcia f sa nazýva rastúca pre každé 2 č. x1,x2 z Df funkcie f

spĺňajúce nerovnosť x1  x2 platí, že fx1  fx2..  fx1  fx2  rastúca, fx1fx2  klesajúca, fx1  fx2  nerastúca, fx1  fx2 neklesajúca. Súčet 2 rast. funkcií je rast. funkcia. Párnosť: ak  x  Df platí, že fx = f –x. Nepárnosť: fx = -f –x.  Periodičnosť: funkciu f nazývame periodickou s periódou l, ak  x Df je aj x+l Df. fx=f x+l . Jednoznačnosť: funkcia f je jedno jendoznačná prostá, ak pre každé 2 body x1,x2 M M môže byť časťou Df al, aj   celým Df je fx1  fx2. Každá rýdzo monotónna funkcia je prostá.  Ohraničenosť: hovoríme že funkcia f: D  H, y = fx je zhora / zdola/  ohraničená  ak obor hodnôt H f = y  H,  x D, y = fx je zhora / zdola/ ohraničená množ. Funkcia je ohraničená, ak je ohraničená zdola a súčasne aj zhora.   Operácie a vzťahy medzi funkciami: súčet: f+g . x = fx  . gx,   rozdiel: f-g .  x = f x - g x,  súčin : f . g  . x = fx  . gx,  podiel: f/g . x = fx / gx.  Sú 2 funkcie f

a g a množ. M  Df Dg. Funkcie f a g  sa rovnajú na množ. M  

x  M platí, že fx = gx.  Zlož. funkcia: nech F: D H, g: B  K. Nech H B .  funkcia h: C  R, kde C = x  D, fx  H B, hx = gfx pre x  C. Inverzná funkcia: prostá f.: f : D H je prostá, ak pre  x 1,x2  D, x1  x2 platí fx1  fx2.  Inv. F. : nech je prostá f.: D H,  funkcia g: B D, kde B = fx, x  DH, definovaná vzťahom gx = y  fy = x sa nazýva inv. F. k f . f a označujeme ju g= f –1.  Racionál. funkcia: je to každá funkcia, kt je def. ako podiel 2 polynómov p,q  na nejakej  vhodnej neprázdnej podmnožine R. R -x, qx =0 Exponenciál. fukcia:  nech a R, a 0, a  1, potom funkcia y = a x je exponen. f.  a  1, a 1  rastúca, 0a 1  klesajúca. Df - , , Hf 0,    Logaritmická funkcia: je to inverzná f. k exponen. f., označujeme ju y= log a x.  Hf je - , , Df  je0,  .  a 1  rastúca, prostá, 0a1 kles., prostá. Platí: log  aax + log  ay = loga  x . y ,  log  aax - log  ay = loga  x/y,   x= a log a x,  ,  Mocninová funkcia:  

y = xa  Trigonometrické funkcie: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y =

cotg x. Vzorce:  sin 2 x + cos2  x = 1, tg x = sin x / cos x, cotg x = cos x / sin x., tg x = 1/cotg x.  Cyklometrické f.: y = arcsin x.......sú to inverzné f. ku trigonom. f.  Elementárne f: každá f, kt. je zložená z konečného počtu f. trigon, cyklom, logar, exponen, mocnin. a konštánt, pomocou konečného počtu operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia, zloženia. Asymptoty grafu funkcie.: priamku, kt. má rovicu x = a, nazývame asymptotou BS grafu funkcie f, ak f má v bode a nevl. lim, alebo nevl. lim zľava al,. sprava.Priamku, kt. má rovnicu y = ax + b nazývame asymptotou SS grafu funkce f, ak platí lim xfx - ax + b = 0 al. lim x -   fx - ax + b = 0 . Nech existuje lim  x fx/x a nech a = lim  x fx / x. Nech  lim  x  fx - ax a nech b= lim  x fx - ax.  priamka y = ax+b je asymptotou SS grafu funkcie fx. Spojitosť funkcie: hovoríme, že funkcia je spojitá v bode x0, ak lim x x0 fx = fx0. To znamená, že

funkcia : xo je v bode definovaná, má v tomto bode lim., lim x x0

fx = fx0. Funkcia f je v bode x0 spojitá sprava / zľava/, ak lim x x0+   fx = fx0 – sprava, lim x x0- fx = fx0 zľava. Funkcia f je v bode x0   spojitá, ak je v danom bode spojitá sprava i zľava. Funkcia je spojitá na otvor . intervale a,b, ak je spojitá v každom bode tohto intervalu. Funkcia je spojitá na uzavretom intervale a,b, ak je spojitá v každom

vnútornom bode tohto intervalu na otvorenom intervale a,b a okrem toho je v bode a spojitá sprava , v bode B zľava. Graf spojitej f.- spojitá krivka. Veta o spojitosti inverz. f.: Ak je f  rastúca /klesajúca/ a spojitá na nejakom intervale I, tak aj k nej inverzná f je rastúca /klesajúca/ a spojitá na množine funkčných hodnôt funkcie f, kt. je tiež interval. Veta o spojitosti zlož. f.: Ak je f x spojitá v bode x0 a funkcia fu spojitá v bode U0 aj zlož. f. fx je spojitá v bode 0x.   Každá elementárna f. je spojitá v každom bode svojho Df.    Ak je nejaké okolie bodu x0 časťou Df a v bode x0 nie je splnená podmienka  spojitosti lim x x0 fx = fx0, nazývame bod  x0 bodom nespojitosti funkcie. Bod x0 môže byť bodom nespojitosti : - funkcia f nie je v bode x0 definovaná ,  - f nemá v bode x0 lim.,  - f má v bode  x0 lim, ale neplatí lim fx = fx0. Body nespojitosti f, v kt. má táto f limitu zľava i sprava sú body nespojitosti 1. druhu a ostatné body sú body nespojitosti 2. druhu. Derivácia funkcie: Limitnú polohu

priamky PQ nazveme dotyčnicou grafu funkcie v bode P, kt. je určený x0, fx0. Rovnica dotyčnice:  y – y0 = k . x – x0. Keď bod Q ide k bodu P, mení sa smernica priamky, ak Δx 0, tak, smernica sa blíži k lim a,b.    Nech je funkcia f definovaná v bode x0 a v jeho okolí, ak  lim Δx 0 fx0 + Δ –fx0 /Δx, túto lim nazývame deriváciou funkcie - fx0. Funkcia f má v bode x0  nevl. deriváciu, ak platí: lim Δx0 fx0+ Δx - fx0 / Δx =   / -/.  Ak existuje lim x 0+ f x0 +   x - fx0 / x derivácia sprava fxx0. Funkcia má v bode

x0 deriváciu vtedy, keď má v tomto bode deriváciu sprava i zľava,

a tieto 1-stranné derivácie sa rovnajú. Geometrický význam derivácie: derivácia f v bode x0 je smernica dotyčnice f.  ak má funkcia f v bode   x0 deriváciu, platí: fx – fx0 = fx0.  x – x0 +  xx – x 0, kde  x je funkcia , kt. je v bode x0 spojitá a x0 = 0. Nutná podmienka existencie derivácie: ak má funkcia f v bode x0  deriváciu, tak je v bode x0 spojitá. Základné pravidlá derivovania:

- predpokladáme, že funkcie f1 a f2 majú deriváciu v bode x0 aj funkcia, kt. je v tvare f= c1. f1 + c2 . f2, konštanty majú deriváciu fx0 = c1f1 x0 + c2f2 x0.  – nech funkcia fx = f1x- f2x  f1x a f2x má deriváciu v bode x0  derivácia funkcie fx0 = f1x0 . f2 x0 + f1x0 . f2x0.     – Ak majú funkcie f1x, f2x deriváciu v bode x0  0  Fx = f1x / f2x,   Fx0 = f1x0 . f2x0 – f1x0 . f2 / x2 . x02 , u / o= u. o – u. o   - nech funkcia x má deriváciu v bode x0 a funkcia fu má deriváciu v bode u0 = x0  zlož. funkcia f x = fx  platí fx0

= fu0 . x0.     – Veta o derivácii inverz. f. :nech funkcia f je rýdzo

monotónna a spojitá na otvorenom intervale a,b a nech má v bode x0  a,b  deriváciu, kt je rôzna od 0  k nej inverzná f má deriváciu  v bode x0 = f y0 je : f-1 x0 = 1 / fy0    y = f-1  x0.   Derivácia element. f.: Konštantná f.  nech fx = c , c je konštanta, x  R. x0 je ľubovoľ. č.  fx = c = 0 na intervale -  , , f x0 = c = 0 na intervale -  , . Nech fx = xn, tak platí xn = nx n-1,    fx = x2,    x2 = 2x2 - 1

= 2x.    Derivácia triginom. f. : - nech fx = sin x, x  - , sin x = cos x.   – nech fx = cos x, x Rcos x  = - sin x,  - nech fx = tgx, tgx = sin x / cos x. tgx = 1 / cos2x: sin x / cos x = sin x . cos x – sin x . cos x / cos x2 = cos x . cos x – sin x. - sin x / cos2 x = cos2 x + sin 2 x / cos2 x = 1 / cos2 x.  – nech fx = cotg x  cotg x = cos x / sin x = cos x . sin x – cos x . sin x / sin2 x = - sin x . sin x – cos x . cos x / sin2 x = - sin2 x – cos 2 x /sin2 x = -1 / sin2 x..  Derivácia cyklomet. f.: nech fx = arcsin x, x  - 1, 1 arcsin =

1/  1-x2 .     Nech fx = arccos x, x  - 1, 1 arccos x  = -1/  1 –

x2.     Nech fx = arctg x, x  - ,   arctg x = 1 / 1+ x2 .   Nech fx = arccotg x, x  - ,   arccotg x = - 1/ 1+x2 . Derivácia log.

f.: nech fx = ln x, x 0,   ln x = 1/x.   Nech f x = ln –x  ln- x = 1/0-x . - x = 1/- x, ln x = 1/x. Nech fx = log x  log a x = 1/x ln a.   Nech y = ln fx  ln fx = 1/fx. fx. Derivácia exponen.f. : nech y = ax , x  R  ax = a x . ln a.  Nech y = ex  

ex = ex ln e = ex . 1 = ex  ex = ex.   Nech y = xr , r  R 

xx = r. xr –1    x  0.   Derivácia vyššieho rádu: Ak  derivácia 1. rádu na Df, derivácia n-tého rádu bude y n = y n-1. Logaritmické derivovanie:  yx = ux vx. ux  0.       ln y x = v x ln u x.     1/y x . yx = vx ln u x + vx . 1/ux . ux.   yx =yxvx . ln ux + vx . ux / ux.   yx = uxvx vx ln u x + vx .  ux  / u x.     yx = evx ln u x.         y x  = evx ln u x . vx ln u x      yx = u x vx . vx ln u x . v x . u x /  ux.   Zákl.

vety diferenciálneho počtu: Fermatova veta: Ak funkcia nadobúda v bode ξ maximálnu / minimálnu/ hodnotu a má v tom bode deriváci

u, tak    derivácia v bode ξ sa rovná 0.Geometr. význam Fermat. vety: Ak má funkcia f v bode , v kt. nadobúda max. al. min hodnotu, deriváciu, tak jej graf má v bode P , f dotyčnicu, kt. je rovnobežná s osou x.Rollova veta:  Nech funkcia f má tieto vlastnosti: je spojitá na a,b, v každom bode a,b má deriváciu, hodnota funkcie vzhľadom na a sa rovná hodnote funkcie vzhľadom na b.   v a,b   aspoň 1 bod  ξ taký, že derivácia v tom bode je rovná 0. Lafrangeova veta o prírastku funkcie: nech

funkcia f má tieto vlastnosti: je spojitá na  a,b, na  a,b má deriváciu

 ba a,b  aspoň 1 bod  ξ, , že platí fb - fa / b – a = f  ξ . Cauchyho veta o prírastku funkcie: nech funkcie f a  majú tieto vlastnosti: sú spojité  na  a,b, na a,b   derivácie f aj , pre  x z a,b je   x  0  v a,b   aspoň 1 bod  ξ taký, že platí  f b - f

a /  b -  a  = f  ξ  / f  ξ     Lopitalove pravidlá:  - 0/0,  /     1. ak lim xa fx = 0, lim xa g x = 0,  lim xa fx =  , lim xa gx = , 2. ak  lim xa fx / gx vl. Al. nevl. lim   aj lim xa fx / gx = fx / gx.     - 0.   1. lim xa fx= 0, lim xa gx = 0, 2.  lim xa  fx / gx    aj lim xa fx / gx = fx / gx.     -      - 

 lim xa  fx = , lim xa  gx = , fx – gx = 1 / gx – 1 / fx / 1 / fx . gx = fx - gx  / fx . gx / 1 / fx . gx =fx - gx / fx . gx . fx . gx / 1 = fx – gx.   -   1, 0    lim xa fx = 0, lim xa gx = 0, 0  lim a uxvx = e lima vx ln u x     Taylorova veta: hovorí o nahrádzaní funkcie f b blízkosti bodu  a jednoduchšou f, resp. polynómom. Nech a, x sú 2 rôzne č., n celé č, n  0 a J uzavretý interval s koncovými bodmi a, x. Nech f je funkcia, kt má na intervale J spojitú deriváciu rádu n a vnútri toho intervalu deriváciu rádu n + 1   v inter. J  taký bod ξ , že f x = Tn x + Rn x, kde Tn x je n-tý Taylorov polynóm funkcie f v bode a, a Rn x =  fn + 1  ξ  /  n +

1  ! . x - an + 1  Priebeh funkcie: geometrický význam derivácie je smernica  k = tg  = f x Ak funkcia f má na a, b kladnú /zápornú / deriváciu, tak f je na a, b rastúca /klesajúca/. Ak y  0  rastúca, ak y  0  neklesajúca,ak y   0  klesajúca,  ak y  0  nerastúca. , y = 0  stac. bod –tu sa mení priebeh funkcie z rastúcej

na klesajúcu a l. opačne. Funkcia y = f x má v bode a z Df  lokál. max. /min./, ak  také  kladné, že pre  x z okolia  a + a +    Platí f x  f a, f x  f a. Ak pre x z a - , a +  a, x  a, platí nerovnosť fx  f a ostré lok. max.., / fx  f a  ostré lok. min./ Ak y  0  lok. min., y   lok.max. Extrémy a zmena monotónnosti: nech funkcia f je v bode a spojitá, ak  také   0, že f má na a - , a kladnú /zápornú/ deriváciu a na intervale a, a +  zápornú / kladnú/ deriváciu, tak f má v bode a lokál. max. /min./. Nutná podmienka extrému: ak funkcia f  máv bode a lokál. extrém a deriváciu, tak 1. derivácia v bode a je rovná 0. Bod a nazývame

stacionárny bod funkcie.  Hľadanie extrému 2. derivácie: ak funkcia f má v stac. bode a kladnú /zápornú/ 2. deriváciu, tak v bode a má f lok.min. / max./.  Nech funkcia f má v bode x0 deriváciu n-tého fádu rôznu od 0, keď n  2 a nech f x0 = f x0 = f x0 = f n - 1 x0 = 0  platí: ak n je nepárne a f n x0  0, tak v bode x0 má f

ostré lok. min.. Ak n je párne a f n x0  0, tak v bode x0 má f ostré lok. max., Ak n je nepárne, tak f má v bode x0 inflex. bod.  Konvexnosť, konkávnosť: nech funkcia f má na intervale I deriváciu  / v krajných bodoch, ak patria do  I  predpokladáme 1-strannú deriváciu/. Funkcia f je na intervale I konvexná /konkávna/, ak jej graf na int. I je nad/pod/ dotyčnicou zostrojenou v hociktorom dotykovo bode x, fx  I. Vyšetrovanie inter. konvex. a konkáv.: ak funkcia fx = y má na inter.  a, b kladnú /zápornú/ 2. deriváciu, tak f je konvex. /konkáv./ na inter. a, b. Ak funkcia f je naviac spojitá v bodoch a, b, tak je konvex. /konkáv. / na a, b. y 0  konvexná,  

y 0  konkávna, y = 0  inflexný bod: ak funkcia f má v bode x0 deriváciu a   kladné také, že pre x  x0 - , x0 platí nerovnosť f x  0 / fx  0/ a pre x  x0, x0 +  platí nerovnosť  f x  0 / f 0/ nazývame tento bod inflex. bod. Ak bod x0 je inflex. bodom f a  f v bode x0, tak táto f = 0. Nech fx0 = 0 a fx0  0  funkcia f má v bode x0 inflex. bod.   Diferenciál funkcie: Funkcia f je v bode x0 diferencovateľná vtedy a len vteda, keď má v bode x0 deriváciu.