Návrat na detail prednášky / Stiahnuť prednášku / Trenčianska univerzita A. Dubčeka / Fakulta Sociálno Ekonomických vzťahov / Matematika I.

vzorce matematika I. (vzorcemat1.doc)

Limita> a sa nazýva limita an, ak každému з>0 ∑ n0, že pre √ n>no: vzdialenosť d (an,a)< з lim a = a <=> [√з>0 ∑ no √n n>no │an-a│< з]

má postupnosť - konvergentná/nemá divergentná

Nevlastná limita> an má nevlastnú limitu -∞/∞ ak pre √ A ∑ n0, pre √N n>n0: an>A

limn->∞ an = ∞ an>A        limn->∞ an = -∞ an<A

Zobrazenie> (f), (g), D(f), D(g), množina A, A D(f)∩D(g), hovoríme, že f,g na A, ak pre √x: A=D(f) ∩D(g), f(x)=g(x)

Zložená funkcia> funkcia f, c R ∑ funkcia h, h: y=│f(x)│ D(h)=D(f) │h│=│f(x)│ c*f:y=c*f(x) D(f)=D(c*f)  

Periodická> f(x) je periodická, ak √x D(f) => x+l   f(x+l)=f(x)

Prostá> f je prostá, √ x1,x2M x1=x2 f(x1)≠f(x2)

Inverzná>f MUSÍ byť prostá D(f), H(f); f-1 je inverzná, ak √y0 H(f) f-1:y0=x0 f(x0) = y0 D(f)=H(f-1) H(f)=D(f-1)

Heineho lim postupnosti> f je definovaná pre √x≠a, z okolia a, hovoríme, že f má v bode a limitu = b, ak pre √ postupnosť xn spĺňajúcu podmienky xnD(f), xn≠a, lim xn=a má postupnosť funkčných hodnôt limitun->∞ = b

lim f(x) = b <=> lim xn = a, √x≠a, lim f(xn)=b, x D(f)

Cauchyho lim postupnosti> nech f je definovaná pre x≠a z okolia a, hovoríme, že f má v bode a limitu=b, ak pre √U з(b) ∑U δ(a), že pre √x U δ(a) x ≠ a je f(x) z U з

(b)

limx->a f(x) = b <=> [√з>0, ∑ δ >  0; 0<│x-a│<d => │f(x) - b│< з

Vety o limite>

f má v 1 bode najviac 1 limitu

limx->a f(x) = b <=> lim [f(x)-b] = 0

nech f(x) má lim f(x) = b ∑ U з(a), √x,xU з(a), x≠a, c1≤f(x) ≤c2; c1≤b≤c2

ak lim f1(x) = b lim f2(x)=b2 lim [f1(x)  f2(x)] = b1b2

lim f1(x)/f2(x) = b1/b2        lim kf1(x) = k b1, kR

Nevlastná limita> f je definovaná pre √xU з(a), hovoríme, že f má v bode a nevlastnú limitu ∞, ak lim xn = a, xn ≠ a, lim f(xn) = ∞/-∞                

Spojitá> f(x) je v a spojitá, ak je v a spojitá zľava + zprava a platí lim f(x) = f(a) a zľava lim f(x) = f(a), f je spojitá na <a,b>, ak je spojitá v každom vnútornom bode (a,b) a v a je spojitá zprava a v b je spojitá zľava. Graf spojitej sa nazýva spojitá krivka

Nevlastná derivácia> f má v x0 deriváciu f ' (x0) = ∞

Derivácia zprava/ľava> ∑ lim [f(x0 + ∆x) - f(x0)]/ ∆x

N-tá derivácia> f(x) je derivovaná - n-tá derivácia je 1. derivácia (n-1) rádu

Leibnitzova veta> u(x), v(x) sú definované na M, majú deriváciu po n-tý rád. Platí [u(x)v(x)](n) = (n0) n (n) (x) v(x) (n) + (n1)n(n-1)v(x)'+....(nn-1)(n-1)n(x) +(nn)n0x(n)v(x)

Základné vety:

Fermatova - ak f má v c maximum/minimum a má tam deriváciu, potom prvá derivácia = 0

Rolleova - nech má f vlastnosti: je spojitá na <a,b>, v kažom bode intervalu má deriváciu, hodnota f(a) = f(b), potom ∑ c <a,b>:f ' (c)=0 a platí a < c < b

Lagrangeova o prírastku f- nech je spojitá na <a,b>, v každom bode (a,b) má deriváciu. Potom je aspoň 1 bod taký, že [f(b) - f(a)]/b-a = f ' (c) (b-a)

Cauchyho - funkcie f a φ majú vlastnosti: sú spojité na <a,b>, majú deriváciu v (a,b), x (a,b), f ' (x) ≠ 0, ∑ c, c(a,b), [f(b)-f(a)]/ φ(b)- φ(a) = f ' (c)/ φ ' (c)

Diferencovateľnosť> ak prírastok f(x) - f(x0) dá vyjadriť ako A(x-x0) + Ux(x)(x-x0) A=číslo, U(x)=spojitá funkcia lim U(x)=U(x0)

Diferenciál> ak j je v x0 diferencovateľná, lineárnu funkciu f ' (x) (x-x0) = df(x0) nazývame diferenciálom funkcie v bode x0

L' Hospitalove pravidlá> delenie a násobenie nevlastných limít

0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1∞ potom použijeme:1. lim f(x)/g(x) = lim f ' (x)/g ' (x)   2. lim f(x)*g(x) = g(x)/1/f(x)

Asymptoty: bez smernice - kde je f nespojitá - D(f) so smernicou - y=kx+q, k=lim f(x)/x, q=lim [f(x)-k(x)]

Priebeh funkcie:

1. párnosť, nepárnosť, periodickosť

2. nulové body-f(x)=0

3. asymptoty grafu funkcie-menovateľ bez smernice, lim f(x)/x so

4. monotónnosť - rast/klesanie - výsledok derivácieD(f)=>stúpajúca

5. stacionárne body

6. lokálne extrémy funkcie-2.derivácia=0

7. intervaly konvexnosti, konkávnosti

8. inflexné body-kde sa mení konvexnosť na konkávnosť a naopak

9. graf funkcie

Konvexnosť a konkávnosť - f má jednostrannú deriváciu - na intervale konvexná/konkávna - nad intervalom konkávna/konvexná

з - epsylon

- patrí

√ - všetky, každé

∑ - existuje